Вариант № 15

№ 1. Для данного повторного интеграла написать уравнения кривых, ограничивающих области

интегрирования, вычертить эти области и поменять порядок интегрирования:

.

№ 2. Расставить пределы интегрирования в том и другом порядке в двойном интеграле

, если D – квадрат A (–2, 0), B (0, 1), C (1, –1), D (–1, –2).

№ 3. Вычислить массу пластины D с поверхностной плотностью

.

№ 4. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями:

.

№ 5. Переходя к полярным координатам вычислить интеграл по области D, ограниченной

заданными линиями: .

№ 6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: (вне круга).

№ 7. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры – треугольник A (–1, 1),

B (1, 3), C (1, 0).

№ 8. Найти площадь части поверхности  – сфера , вырезанной поверхностью

 – плоскость .

№ 9. Для данного интеграла написать уравнения поверхностей, ограничивающих область

интегрирования, и вычертить эту область: .

№ 10. Вычислить , если .

№ 11. Вычислить , сведением к однократному и двойному интегралам:

.

№ 12. Вычислить тройной интеграл , перейдя к цилиндрическим координатам:

.

№ 13. Вычислить тройной интеграл , перейдя к сферическим координатам:

.

№ 14. Найти координату x_c центра масс тела, ограниченного указанными поверхностями:

.

№ 15. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода по ломаной ABC:

.

№ 16. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода:

.

№ 17. Вычислить криволинейный интеграл второго рода по кривой

между точками .

№ 18. Вычислить криволинейный интеграл второго рода по линии

.

№ 19. Найти массу материальной дуги линии при линейной плотности .

№ 20. Вычислить криволинейный интеграл между точками A(0, –3) и B(3, 0),

O(0, 0) по различным путям интегрирования C₁ (отрезок AB) и C₂ : ломаная ABC и

обосновать полученные результаты, используя условие независимости криволинейного

интеграла от пути интегрирования.

№ 21. Вычислить криволинейный интеграл , применив формулу Грина (обход контура L : прямоугольник составляет область, ограниченную контуром, слева).

ТИПОВОЙ РАСЧЁТ (ДВОЙНЫЕ, ТРОЙНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ)

Вариант № 16

№ 1. Для данного повторного интеграла написать уравнения кривых, ограничивающих области

интегрирования, вычертить эти области и поменять порядок интегрирования:

.

№ 2. Расставить пределы интегрирования в том и другом порядке в двойном интеграле

, если D – параллелограмм O (0, 0), A (4, 2), B (7, 0), C (3, –2).

№ 3. Вычислить массу пластины D с поверхностной плотностью ,

D : треугольник O (0, 0), A (1, 1), B (0, 2).

№ 4. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями:

.

№ 5. Переходя к полярным координатам вычислить интеграл по области D, ограниченной

заданными линиями: .

№ 6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .

№ 7. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями:

.

№ 8. Найти площадь части поверхности  – конус , вырезанной поверхностью

 – цилиндр .

№ 9. Для данного интеграла написать уравнения поверхностей, ограничивающих область

интегрирования, и вычертить эту область: .

№ 10. Вычислить , если .

№ 11. Вычислить , сведением к однократному и двойному интегралам:

.

№ 12. Вычислить тройной интеграл , перейдя к цилиндрическим координатам:

.

№ 13. Вычислить тройной интеграл , перейдя к сферическим координатам:

.

№ 14. Найти координату x_c центра масс тела, ограниченного указанными поверхностями:

.

№ 15. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода по ломаной ABC:

.

№ 16. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода:

.

№ 17. Вычислить криволинейный интеграл второго рода

по кривой между точками .

№ 18. Вычислить криволинейный интеграл второго рода по линии

.

№ 19. Найти массу материальной дуги линии при линейной плотности .

№ 20. Вычислить криволинейный интеграл между точками A(0, 0) и B(5, –2) по различным путям интегрирования C₁ (отрезок AB) и C₂ : и обосновать полученные результаты, используя условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

№ 21. Вычислить криволинейный интеграл , применив формулу Грина (обход контура L ограничен линиями составляет область, ограниченную контуром, слева).

ТИПОВОЙ РАСЧЁТ (ДВОЙНЫЕ, ТРОЙНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ)