Вариант № 9
№ 1. Для данного повторного интеграла написать уравнения кривых, ограничивающих области
интегрирования, вычертить эти области и поменять порядок интегрирования:
.
№ 2. Расставить пределы интегрирования в том и другом порядке в двойном интеграле
, если D – ромб A (–2, 0), B (0, 3), C (2, 0), D (0, –3 ).
№ 3. Вычислить
массу пластины D
с поверхностной плотностью
,
D : треугольник A (1, 0), B (0, 1), C (1, 1).
№ 4. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями:
.
№ 5. Переходя к полярным координатам вычислить интеграл по области D, ограниченной
заданными
линиями:
.
№ 6. Найти площадь
фигуры, ограниченной линиями:
.
№ 7. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями:
.
№ 8. С помощью двойного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:
сфера
,
цилиндр
.
№ 9. Для данного интеграла написать уравнения поверхностей, ограничивающих область
интегрирования,
и вычертить эту область:
.
№ 10. Вычислить
,
если
.
№ 11. Вычислить , сведением к однократному и двойному интегралам:
.
№ 12. Вычислить
тройной интеграл
,
перейдя к цилиндрическим координатам:
.
№ 13. Вычислить тройной интеграл , перейдя к сферическим координатам:
.
№ 14. Приложения тройного интеграла в геометрии. Найти объём тела, ограниченного заданными
поверхностями:
.
№ 15. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода по ломаной ABC:
.
№ 16. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода:
прямая
между точками: A
(1,
1, 1) и
B
(3,
0, 3).
№ 17. Вычислить
криволинейный интеграл второго рода
по кривой
между точками
.
№ 18. Вычислить
криволинейный интеграл второго рода
по линии
.
№ 19. Вычислить
площадь S
фигуры, ограниченной замкнуты контуром,
образованным указанными линиями:
(кардиоида).
№ 20. Вычислить
криволинейный интеграл
между точками A(–3,8;
–1) и
B(1,2;
0), C(–3,8;
0) по различным
путям интегрирования C1
(отрезок AB)
и C2
: ломаная ABC
и обосновать полученные результаты,
используя условие независимости
криволинейного интеграла от пути
интегрирования.
№ 21. Вычислить
криволинейный интеграл
,
применив формулу
Грина (обход контура составляет область, ограниченную контуром, слева).
ТИПОВОЙ РАСЧЁТ (ДВОЙНЫЕ, ТРОЙНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ)
Вариант № 10
№ 1. Для данного повторного интеграла написать уравнения кривых, ограничивающих области
интегрирования, вычертить эти области и поменять порядок интегрирования:
.
№ 2. Расставить пределы интегрирования в том и другом порядке в двойном интеграле
, если D – круговой сектор с центром в O (0, 0), концы дуги которого
A (–4, 3), B (4, 3).
№ 3. Вычислить массу пластины D с поверхностной плотностью
.
№ 4. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями:
.
№ 5. Переходя к полярным координатам вычислить интеграл по области D, ограниченной
заданными
линиями:
.
№ 6. Найти площадь
фигуры, ограниченной линиями:
(общая область).
№ 7. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры – круговой сектор с центром
в O (0, 0), концы дуги которого A (1, 1), B (1, –1).
№ 8. С помощью двойного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:
конус
,
цилиндр
.
№ 9. Для данного интеграла написать уравнения поверхностей, ограничивающих область
интегрирования,
и вычертить эту область:
.
№ 10. Вычислить
,
если
.
№ 11. Вычислить , сведением к однократному и двойному интегралам:
.
№ 12. Вычислить тройной интеграл , перейдя к цилиндрическим
координатам:
.
№ 13. Вычислить тройной интеграл , перейдя к сферическим координатам:
.
№ 14. Приложения тройного интеграла в геометрии. Найти объём тела, ограниченного заданными
поверхностями:
.
№ 15. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода по ломаной ABC:
.
№ 16. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода:
первый
виток винтовой линии:
№ 17. Вычислить
криволинейный интеграл второго рода
по кривой
между точками
.
№ 18. Вычислить
криволинейный интеграл второго рода
по линии
.
№ 19. Вычислить
площадь S
фигуры, ограниченной замкнуты контуром,
образованным указанными линиями:
(лемниската Бернулли).
№ 20. Вычислить
криволинейный интеграл
между точками A(0,
–2) и B(2,
0) C(2,
0) по различным
путям интегрирования C1
(отрезок AB)
и C2
:
и обосновать полученные результаты,
используя условие независимости
криволинейного интеграла от пути
интегрирования.
№ 21. Вычислить
криволинейный интеграл
,
применив формулу Грина (обход контура
составляет
область, ограниченную контуром, слева).
ТИПОВОЙ РАСЧЁТ (ДВОЙНЫЕ, ТРОЙНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ)