1.5. Погашення боргу

Процес повернення боргу регулярно, певними частинами, в певний термін і на протязі обумовленого часу із виплатою певного відсотка називають погашенням боргу або його амортизацією.

Нехай, наприклад, деяка особа взяла у банка в борг 5000 грн. з умовою, що борг буде повертати щомісячно на протязі 24 міся­ців з обумовленим банком відсотком його зростання.

Виникає питання: якою повинна бути щомісячно сплата боргу з врахуванням відсотку його зростання?

З математичної точки зору задача про погашення боргу ана­логічна до задачі про ренту. Дійсно, задачу про ренту можна розглядати як задачу погашення боргу страховою компанією, яка взяла внесок А в борг на певних умовах і повертає його ре­гулярно величиною Р.

Тому формули (1.17), (1,18) мають місце і для задачі погашення боргу, тобто

або . (1.21)

За формулою (1.21) можна розв’язати задачу погашення боргу.

Приклад 10. На час навчання студент університету отримав з фонду навчання в борг 8000 грн.. Цю позичку йому надано із 8% щорічного зростання і умовою щорічного повернення боргу в кінці кожного року після закінчення університету на протязі 5 років. Скільки коштів повинен повертати студент кожного року після закінчення університету?

Розв'язування. У даному випадку борг А=8000 грн., час його повернення n=5, відсоток зростання R=8%, . Шукану величину Р щорічної сплати боргу студентом знайдемо за формулою (1.20): . З табл. 1 знаходимо , тому .

Отже, для погашення боргу студент повинен в кінці кожного року сплачувати фонду навчання 2003,65 грн..

Запитання і завдання для самоперевірки

1. Дати означення арифметичної прогресії. За якими формулами обчислюється її загальний член та сума?

2. Який зв’язок між арифметичною прогресією і нарахуванням простих відсотків?

3. За якими формулами нараховується накопичена сума за простими відсотками, якщо період нарахування задається в роках?

4. За якими формулами нараховується накопичена сума за простими відсотками, якщо період нарахування менше року?

5. Дати означення геометричної прогресії. За якими формулами обчислюється її загальний член та сума?

6. Який зв’язок між геометричною прогресією і нарахуванням складних відсотків?

7. За якими формулами нараховується накопичена сума за складними відсотками, якщо період нарахування задається в роках?

8. За якими формулами нараховується накопичена сума за складними відсотками, якщо загальна кількість періодів нарахування є нецілим числом?

9. Що називається фінансовою рентою або аннуїтетом?

10. За якою формулою обчислюється нарощена сума ренти?

11. За якою формулою обчислюється коефіцієнт нарощення ренти?

12. За якою формулою обчислюється теперішня вартість ренти?

13. За якою формулою обчислюється коефіцієнт зведення ренти?

14. Який економічний процес називають погашенням боргу або його амортизацією?

15. За якою формулою здійснюється погашення боргу?

Вправи для самостійної роботи

1. П. Кучерук взяв у борг 3250 грн. з умовою повер­нути 20 грн. у перший місяць і подальшим збільшення цієї суми на 15 грн. кожного місяця. Який термін йому потрібен для повернення боргу?

2. П. Кучерук взяв у борг 4325 грн. з умовою щомісячного повернення боргу за арифметичною прогресією. Скільки йому по­трібно повернути коштів у 20-у місяці, якщо його внески у 8-у та 15-у місяцях були 153 та 181 грн., відповідно.

3. Обладнання вартістю 10 тисяч грн. внаслідок експлуа­тації втрачає кожного року 20% своєї початкової вартості. Знайти:

а) вираз для вартості цього обладнання через п років;

б) кількість років його доцільного використання, якщо при вартості 1000 грн. обладнання використовувати не­доцільно.

Відповідь. ; 4,5 роки.

4. Знайти накопичену суму та прибуток, якщо 5000 грн. внесено на 5 років під прості відсотки при відсотковій ставці R₁=2%, R₂=3% річних.

Відповідь: 5500; 5750; 500; 750.

4. Знайти накопичену сум та прибуток, якщо 5000 грн. внесено на 5 років під складні відсотки при відсотковій ставці R₁=2%, R₂=3% річних. Порівняти одержані результати з результатами попередньої задачі.

Відповідь: 5520,40; 5796,37; 520,40; 796,37.

5. Сума 800 000 грн. інвестується на три роки під складні відсотки за відсотковою ставкою 8% річних. Знайти накопичену суму за цей термін, якщо відсотки нараховуються щорічно, щопівроку, щоквартально.

Відповідь: 1007769,60 грн.; 1012255,21 грн.; 1014593,44 грн.

6. Суму величиною 10 000 грн. вкладено під складні відсотки терміном на 3 роки. Обчислити кінцеву суму, якщо відсотки нараховуються наприкінці кожного року, кварталу, місяця та неперервно за ставкою 6% річних. Порівняти результати.

Відповідь: 11910,16; 11956,18 грн.; 11966,81 грн.; 11972б17 грн.

7. Кредит розміром 600 000 грн. видано під складні відсотки на 1 рік за ставкою 10% в місяць. Знайти повну суму боргу до кінця терміну.

Відповідь: 188305,70 грн.

8. Знайти накопичену суму за півтора року, нараховану на 900 000 грн. за ставкою 32% у квартал.

Відповідь: 4760867,52 грн.

9. На терміновий вклад у банку зараховано 100 грн. за ставкою 6% річних. Знайти накопичені на рахунку суми через 2, 3, 4 і 5 років за умови:

а) нарахування простих відсотків;

б) нарахування складних відсотків;

в) неперервного нарахування відсотків.

Відповідь: а) 112, 118, 124, 130; б) 112,36, 119,10, 126,25, 133,82; в) 112,75, 119,72, 127,12, 134,99.

9. Суму величиною 1000 грн. вкладено під складні відсотки терміном на 2,5 роки. Обчислити накопичену суму, якщо відсотки нараховуються наприкінці кожного року, півроку, кварталу за ставкою 20% річних. Порівняти результати, одержані двома способами.

Відповідь: 1577,44 грн., 1610,51 грн., 1628,89 грн.;

1584,00, грн., 1610,51 грн., 1625,20грн.

11. Знайти сучасне значення інвестицій (початкове значення суми), якщо накопичена до кінця п’ятого року сума складає 15 000 000 грн. Відсотки нараховуються за наступними ставками: а) 12% наприкінці кожного року; б) 6% наприкінці кожного півріччя.

Відповідь: а) 8511402,835 грн.; б) 8375921,65 грн.

12.Знайти, яка сума повинна бути інвестована сьогодні для накопичення 500 000 грн. до кінця року при нарахуванні відсотків за ставкою: 16% річних наприкінці року, кожного півроку, кожного кварталу.

Відповідь: 431034,48 грн., 428669,41грн., 427402,10 грн.

13. За який строк початковий капітал розміром 50000 грн. збільшиться до 100000 грн., якщо:

а) на нього будуть нараховуватись складні відсотки 16% річних;

б) відсотки будуть нараховуватись щоквартально.

Відповідь: n=4,67 i n=4,42 роки.

14. Яка повинна бути річна відсоткова ставка, щоб початковий капітал збільшився у два рази за два роки? Задачу розв’язати, якщо нарахування відсотків здійснюється щорічно, по півріччях, щоквартально.

Відповідь: R=41,42%, R=37,84%, R=36,20%.

15. П. Мигалко вносить по 200 грн. у кінці кожного кварталу у пенсійний фонд з умовою 8% річних при щоквартальному нарахуванні відсотків.

1. Знайти загальну суму внеску через 10 років.

2. Який прибуток буде накопичений через 10 років?

Відповідь: 12080,40 грн., 4080,40 грн.

16. Кожного року певна особа вносить Р грн. на свій рахунок на­копичення із щорічним прибутковим зростанням рахунку на R відсотків. Обчислити суму коштів, накопичених за п років:

1) Р=100; R=5; n=18; 2) Р=500; R=12; n =10;

3) Р=300; R=3; n =15; 4) Р=200; R=3; n =18;

5) Р=500; R=5; n =20; 5) Р=1000; R=8; n =10.

17. Протягом п’яти років у фонд сплачується 45000 грн., на які нараховується відсоткова ставка – 8% річних. Необхідно знайти кінцеву суму на момент останнього внеску за умови, що внески робляться: а) раз на рік; б) наприкінці кожного кварталу; в) наприкінці кожного місяця.

Відповідь:

18. Клієнт бажає відкрити рахунок ренти на своє ім’я у стра­ховій компанії, яка сплачує R щорічних прибуткових відсотків. Його умова – сплачувати на початку кожного року Р грн. на протязі n років, починаючи з наступного року. Яку кількість А коштів він повинен зараз внести на рахунок?

1) Р=2000; R=8; n=3; 2) Р=3000; R=6; n=3;

3) Р=6000; R=6; n=5; 4) Р=7000; R=6; n=5;

5) Р=4000; R=8; n=4; 6) Р=5500; R=6; n=4.

19. На час навчання студент університету отримав з фонду нав­чання в борг А грн.. Цей кредит йому надано із розрахунку R% щорічно­го зростання і умовою щорічного повернення боргу в кінці кожного року після закінчення університе­ту на протязі n років. Скільки коштів повинен повертати студент кожного року після закінчення університету?

1) А = 10000; R=8; n=5; 2) А = 9000; R=8; n=5;

3) А = 6000; R=6; n=10; 4) А = 18000; R=8; n=20;

5) А = 12000; R=6; n=15; 6) А = 6000; R=6; n=8.

14