1.3. Фінансова рента. Обчислення нарощеної суми ренти

Фінансова рента. Ряд послідовних платежів, які сплачуються у вигляді грошової суми через рівні проміжки часу, називається фінансовою рентою або аннуїтетом.

Кожний внесок називається періодичним внеском або періодичною рентою.

Час, протягом якого здійснюються періодичні внески, називається строком ренти або строком аннуітету.

Якщо кожний внесок здійснюється в кінці кожного періоду нарахування, то така рента називається звичайною або постнумерандо. Якщо внески здійснюється на початку кожного періоду нарахування, то така рента називається зобов’язанням або преднумерандо.

Річна рента. Зупинимося на найбільш простому випадку – річної ренти постнумерандо.

Нехай Р – величина періодичних внесків, – відсоткова ставка, n – кількість періодів, на протязі яких здійснюються внески, S – нарощена сума ренти, тобто сума, яка накопичиться за вказаний проміжок часу, з урахування нарахування складних відсотків з кожного внеску.

Схему обчислення нарощеної суми звичайної ренти наведено на рис. 1.

1 2 3 … n-2 n-1 n

Р

Р

Р

Р Р Р

Рис. 1

Згідно з такою схемою перший внесок перебуваючи на рахунку період набуде значення . Другий внесок перебуватиме на рахунку періоди, тому він набуде значення і т.д. Передостанній внесок перебуватиме на рахунку один період, отже, набуде значення . Останній внесок залишиться без зміни. Таким чином, загальна сума ренти

.

Якщо цю суму записати в оберненому порядку, то одержимо суму n членів геометричної прогресії, з першим членом та знаменником . Тому, згідно з формулою суми скінченої геометричної прогресії, маємо

. (1.13)

У фінансових розрахунках формула (1.13) часто використовується у ви­гляді

, (1.14)

де значення – коефіцієнт нарощення ренти – для різних п та і знаходяться з спеціальних розрахунко­вих таблиць.

Приклад 6. Кожного року робітник вносить 1000 грн. на свій рахунок накопичення з одержанням прибутку за ставкою 5% річних. Обчислити величину його накопичень безпосередньо після здійснення 10 внеску;

Розв'язування. Використовуючи введені раніше позначення, маємо , , , . Для знаходження величини рахунку накопичення безпосередньо після здійснення 10-го внеску скористаємось формулою (1.13)

.

Якщо скористатись формулою (1.14) і табличним значенням , то дістанемо

.

Річна рента з нарахуванням відсотків m разів на рік. Якщо нарахування відсотків проводиться m разів на рік на платежі, що вносяться раз на рік, то при цьому використовується ставка відсотків i/m, де і – номінальна ставка відсотків. Очевидно, що платежів з нарахованими відсотками буде в m разів більше, і вони утворюють послідовність:

; ;…; ; ; .

Сума членів цієї спадної геометричної прогресії дорівнюватиме:

. (1.15)

Приклад 7. Знайти нарощену суму ренти, описаної в прикладі 6, за умови, відсотки нараховуються щоквартально.

Дано: , , , . За формулою (1.15) знаходимо:

.

Результати обчислень нарощених сум у прикладах 6 і 7 показують, що частіше нарахування відсотків збільшує кінцеву суму ренти.

Рента k-термінова. Розглянемо методи розрахунку нарощеної суми для трьох варіантів k-термінової ренти постнумерандо пр умові, що m = 1, m = k і m k, де m – число нарахувань відсотків протягом року, k – число внесень (виплат) протягом року.

Випадок m = 1. Нехай рента виплачується k раз протягом року рівними сумами, а відсотки нараховуються один раз в кінці року. Якщо річна сума платежів рівна P, то кожний раз виплачується сума P/k. Загальне число членів ренти дорівнює nk. Послідовність членів ренти з нарахованими відсотками утворює геометричну прогресію, перший член якої дорівнює P/k, а знаменник – . Сума членів такої прогресії обчислюється за формулою

. (1.16)

Приклад 8. Знову розглянемо умови з прикладу 6. Нехай внески здійснюються поквартально.

Дано: , , , , . За формулою (1.16) знаходимо:

.

Випадок m = k. Якщо число рівних виплат (членів ренти) в році k дорівнює числу нарахувань відсотків в році m, то можна використати формулу (1.13), в якій і замінити на i/m, число років n замінити кількістю нарахувань відсотків за весь термін , а Р замінити на . Тоді отримаємо формулу

. (1.17)

Випадок m  k. Якщо число членів ренти в році k не збігається з числом нарахувань відсотків в році m, то така рента називається загальною. В цьому випадку відсоткова ставка буде i/m, загальне число членів ренти , а величина члена ренти – . Члени ренти з нарахованими відсотками утворює геометричну прогресію з першим членом і знаменником – . Сума членів такої прогресії обчислюється за формулою

. (1.18)