1.4. Теперішня вартість ренти або дисконт

Деяка частина населення країн з ринковою економікою живе за рахунок ренти, тобто регулярно на протязі певного терміну (наприклад, на початку кожного року на протязі 10 років) одер­жують раніше обумовлену величину коштів з відповідного рахунку в банку або страховій компанії.

Виникає задача: скільки коштів треба покласти на рахунок ренти для виконання відповідних умов?

Перш ніж розв'язати цю задачу у загальному випадку, розглянемо конкретний приклад.

Приклад 8. В день 60-річчя п. Буряк відкрив рахунок ренти в страховій компанії на своє ім'я з умовою, що він буде одержувати щорічно у свій день народження, починаючи з наступного року 500 грн. протягом 10 років. Компанія прийняла його кошти і відкрила йому рахунок ренти з щорічним зростанням вкладених коштів на 8%. Яку суму внесено на рахунок ренти п. Буряка?

Розв'язування. Позначимо через А₁ частину усього внеску, яка забезпечила виконання умови п. Буряка та компанії через 1 рік, тобто у день 61-річчя. Ця частина ренти на протязі одного року знаходилася на рахунку і тому, згідно з умовою страхової компанії, одержала 8% прибутку, тобто стала 1,08А₁. За умовою п. Буряка ця величина повинна дорівнювати 5000 грн.. Отже, з рівності

1,08А₁=500 знаходимо, що А₁=500(1,08)^-1= 462,96.

Таким чином, саме таку суму коштів треба було внести на рахунок у день 60-річчя для того, щоб у день 61-ї річниці одержати 500 грн.

Тепер позначимо через А₂ частину первинного внеску, яка через два роки буде сплаченою у кількості 500 грн. Ця частина ренти знаходилася на рахунку на протязі двох років і також одержувала щорічно 8% прибутку, тобто набула значення . З рівності знаходимо, що .

Таким чином, якщо внесок на рахунок ренти дорівнював А₂, то в день 62-ї річниці п. Буряк одержав 500 грн.. Якщо п. Буряк у день свого 60-річчя зробив внесок на рахунок ренти величиною А₁+А₂, тоді його умова одержання 500 грн. у дні 61 та 62 річниць буде задоволена.

Аналогічно можна впевнитись, що внесок дасть можливість йому отримати 500 грн. у день 63 річниці і т.д. Для одержання останніх 500 грн. у день 70-річчя треба було зробити початковий внесок величиною А₁₀= 500(1,08)^-10=234,60.

Для повного виконання умов п. Буряка, він повинен одержувати 500 грн. усі 10 років, а тому загальний внесок на рахунок ренти повинен бути

А=А₁ +А₂+А₃+...+А₁₀ =500(1,08)^-1+500(1,08)^-2 + 500(1,08)^-3 + ...+500(1,08)^-10.

Таким чином, шукана величина внеску А на рахунок ренти є сума 10 членів геометричної прогресії з першим членом b₁= 5000(1,08)^-1 і знаменником q=(1,08)^-1, її сумою буде

.

Помноживши чисельник та знаменник дробу на 1,08, одержимо

.

Отже, п. Буряк повинен вкласти на рахунок ренти 3355,04 грн., щоб одержувати по 500 грн. щорічно на протязі 10 років.

Тепер розглянемо загальний випадок ренти.

Річна рента. Позначимо через А величину внеску на рентний рахунок. Нехай з цього рахунку роблять виплати розміром Р регулярно, з постійним періодом часу протягом n періодів, починаючи через один після відкриття рахунку ренти. Нехай величина внеску зростає кожного періоду на R%.

Щоб отримати першу виплату у розмірі Р після першого періоду часу треба вкласти на рахунок ренти таку кількість коштів А₁, яка задовольняє рівність А₁(1+і)=Р, де . З цієї рівності знаходимо значення А₁ за формулою А₁=Р(1+і)^-1.

Аналогічно знаходимо внесок А₂, який зростає до величини Р після двох періодів часу, тобто А₂=Р(1+і)^-2 і т.д.

Частину внеску А_n, яка зростає до величини Р після п періодів знаходимо за формулою А_n=Р(1+і)^-n. Тоді загальна величина внеску А, яку треба внести на рахунок ренти є сумою

А=А₁+А₂+...+А_n=Р(1+i)^-1+Р(1+i)^-2+...+Р(1+i)^-n,

тобто А – це сума геометричної прогресії з п членів, перший член і знаменник якої, відповідно, дорівнюють , q=(1+і)^-1. Тому

.

Спростивши останній дріб шляхом множення чисельника і знаменника на , одержимо таку формулу для знаходження теперішньої вартості ренти:

. (1.18)

Фінансисти часто використовують формулу (1.18) у вигляді

, (1.19)

де – коефіцієнт зведення ренти – задається у вигляді табличних значень, обчислених для різних значень та п.

Наприклад, згідно таблиці , тому

,

як і в прикладі 7.

Приклад 9 (щорічна рента). П. Буряк у свою 59-ту річницю зробив внесок 12000 грн. у страхову компанію, як ренту. Страхова компанія погодилась надавати п. Буряку 6% щорічного прибутку з внеску і проводити щорічні виплати на протязі 15 років. Скіль­ки коштів щорічно буде одержувати п. Буряк з цього рахун­ку?

Розв'язання. У даному випадку відома величина внеску на рахунок ренти А= 12000, а також відсоток прибутку R=6%, тобто .

Підставивши значення А та і у формулу (1.18) або (1.19), одержимо шука­ну величину Р з рівності: (значення взято з відповідної таблиці).

З останньої рівності знаходимо .

Отже, п. Буряк буде одержувати щорічну рентну виплату величи­ною 1235,55 грн.

Річна рента, нарахування відсотків m раз на рік. Як і нарощена сума, теперішня вартість ренти залежить від параметрів, які її описують. Формули (1.18), (1.19) справедливі лише для річної ренти, за умови, що відсотки нараховуються один раз на рік. Якщо відсотки на платежі нараховуються m раз на рік, то у формулі (1.18), замість виразу слід поставити . Після такої заміни формула для теперішньої вартості ренти набуде вигляду

. (1.20)