1.2. Геометрична прогресія та складні відсотки

Геометрична прогресія. Геометричною прогресією називається послідовні­сть, кожний наступний член якої дорівнює попередньому, помно­женому на одне й те саме число q, яке називають знаменником прогресії.

Згідно з означенням геометричної прогресії

b_n+1=b_nq (1.5)

Наприклад, послідовність 1, 3, 9, 27, ... утворює геометричну прогресію із знаменником q=3.

Геометрична прогресія називається зростаючою, якщо |q > 1, і спадною, якщо |q| < 1.

Якщо кількість членів геометричної прогресії скінчена, тоді вона називається скінченою, у протилежному випадку вона на­зивається нескінченною геометричною прогресією.

Загальний член геометричної прогресії. Методом математичної індукції можна довести, що загальний член геометричної прогресії знаходять за формулою

. (1.6)

Приклад 4. Знайти шостий та дев'ятий члени геометричної прогресії, в якій b₁ =2, q = 3.

Розв'язання. За формулою (1.5) маємо:

b₆=b₁q⁵=23⁵=486, b₉=b₁q⁸=23⁸=13122.

Сума членів скінченої геометричної прогресії. Можна показати, що сума членів скінченої геометричної прогресії може бути знай­дена за формулою

. (1.7)

Сума членів нескінченно спадної геометричної прогресії. Суму нескінченно спадної геометричної прогресії зна­ходять за формулою

. (1.8)

Обчислення складних відсотків. Нехай Р – початкова сума капіталу або дисконт; – відсоткова ставка; n – кількість періодів нарахування в роках; – накопичена сума за n періодів.

Нехай – початкова сума капіталу. Тоді через рік ця сума стане . Після другого року, з врахування відсотка на відсоток, сума становитиме величину . Поступаючи аналогічним чином, легко показати, що і т. д. Після

n-го року накопичена сума становитиме .

Таким чином, накопичення за складними відсотками описується геометричною прогресією, початковий член якої , знаменник , а значення

або , (1.9)

є накопичена сума за n років і є не що інше, як n-й член геометричної прогресії.

Якщо ввести позначення , то формулу (1.9) можна записати у вигляді

, (1.10)

де – називається коефіцієнтом нарощення за складними відсотками і дорівнює накопиченому значенню для 1 гр. од. за n періодів. Його часто знаходять за допомогою фінансових таблиць.

Приклад 5. Нехай вкладник надає банку 5000 грн. під складний відсоток 10% річних на період 5 років. Знайти накопичену суму за вказаний період.

Скориставшись формулами (1.8), дістанемо:

грн..

Зауважимо, що при нарахуванні за простими відсотками накопичена сума становила 7500 грн., тобто значно менша ніж накопичена сума, обчислена за складними відсотками.

Розглянемо випадок, коли період нарахування менший ніж рік, але рік містить ціле число m періодів нарахування. В табл. 1 наведено декілька періодів нарахування, які часто вживаються на практиці і відповідні їм значення m.

Таблиця 1

Період нарахування	1 день	1 тиждень	1 місяць	2 місяці	3 місяці	6 місяців	12 місяців
m	365	52	12	6	4	2	1

Нехай – річна відсоткова ставка, тоді відсоткова ставка за один період буде або . За n років кількість періодів нарахування буде дорівнювати , а основні формули для нарахування складних відсотків, у цьому випадку, будуть мати вигляд:

або . (1.11)

Якщо загальна кількість періодів нарахування є нецілим числом (nm – ціле число інтервалів нарахування, а k – частина інтервалу нарахування), то накопичену суми можна знайти за формулами:

або . (1.12)

У світовій практиці часто застосовується неперервне нарахування складних відсотків. У цьому випадку тривалість інтервалу нарахування прямує до нуля, а m – до нескінченності. Тоді, враховуючи, що

,

де е=2,71828..., накопичена сума обчислюється за формулою .