- •§1. Скалярные и векторные поля.
- •§2. Поверхности и линии уровня.
- •§3. Производная по направлению скалярного поля.
- •Контрольное задание 2.
- •§4. Градиент скалярного поля.
- •Контрольное задание 3.
- •§5. Векторные линии поля.
- •Контрольное задание 4.
- •§6. Линейный интеграл векторного поля.
- •Формула Грина.
- •Контрольное задание 5.
- •§7. Потенциальное векторное поле.
- •Примеры потенциальных полей.
- •Контрольное задание 6.
- •§8. Поток векторного поля.
- •Контрольное задание 7.
- •§9. Дивергенция векторного поля. Соленоидальное векторное поле.
- •Формула Остроградского – Гаусса.
- •Контрольное задание 8.
- •§10. Ротор (вихрь) векторного поля. Формула Стокса.
- •Контрольное задание 9.
- •§11. Операторы Гамильтона и Лапласа.
- •Дифференциальные операции второго порядка.
- •Запись дифференциальных операций второго порядка в операторной форме.
- •Контрольное задание 10.
- •Ответы к контрольным заданиям.
- •Список литературы.
- •Оглавление.
- •Скалярные и векторные поля. 4
Контрольное задание 4.
Найти векторные линии поля:
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
§6. Линейный интеграл векторного поля.
Линейный интеграл векторного поля – это криволинейный интеграл второго рода. Вводится он следующим образом. Пусть в области G задано векторное поле , и в этом поле определена гладкая или кусочно-гладкая ориентированная кривая АВ. Разобьём кривую АВ на n частей точками деления по направлению от А к В. Радиус-вектор точки обозначим . Вектор . Выберем произвольно на каждой частичной дуге точку и вычислим значение поля в них. Для всех вычислим значения скалярного произведения и составим сумму вида .
Определение 6. Линейным интегралом векторного поля вдоль дуги АВ называется предел (если он существует), к которому стремится интегральная сумма , если наибольшая из длин частичных дуг стремится к нулю, а число элементарных дуг n неограниченно возрастает. Этот предел обозначают символом . Т.е.
. (5)
При изменении ориентации кривой интеграл меняет знак: .
Физический смысл выражения - это работа, произведённая силой при перемещении материальной точки от А к В по контуру L.
Линейный интеграл векторного поля вдоль замкнутой кривой (контура L) называется циркуляцией поля по замкнутому контуру при заданном направлении обхода контура и обозначается символом
Ц (6)
(знак + обозначает, что контур обходится против часовой стрелки).
Пусть поле задано своими функциями-координатами: и . Тогда
. (7)
В правой части выражения (7) - криволинейный интеграл второго рода.
Для плоского поля линейный интеграл вычисляется по формуле: . (8)
Линейный интеграл векторного поля вычисляется по обычным правилам вычисления криволинейного интеграла второго рода, т.е. преобразовывается в определённый. Для этого все переменные под знаком интеграла выражают через одну переменную, используя уравнение той линии, вдоль которой производится интегрирование.
Если векторное поле задано в пространстве , а линия АВ задана параметрическими уравнениями то
. (7.1)
Если линия АВ задана системой уравнений то
. (7.2)
Для плоского векторного поля и линии АВ, заданной параметрическими уравнениями , криволинейный интеграл вычисляется по формуле:
, (8.1)
где - значения параметра t, соответствующие начальной и конечной точкам пути интегрирования.
Для дуги АВ, заданной уравнением : . (8.2)
Если линия АВ кусочно-гладкая, то следует воспользоваться свойством аддитивности криволинейного интеграла, разбив АВ на гладкие дуги.
Пример 10. Найти работу векторного поля при перемещении точки вдоль контура, состоящего из части кривой от точки до и дуги эллипса от точки до .
Р
Рисунок 6
Работа (см. (8)).
Т. к. контур состоит из двух частей, воспользуемся свойством аддитивности криволинейного интеграла: . Сведём оба интеграла к определённым по формулам (8.1) и (8.2).
Для вычисления интеграла по контуру ВС используем параметрическую форму записи уравнения эллипса.
.
Ответ: .
Пример 11. Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль части кривой Вивиани, заданной пересечением полусферы и цилиндра , пробегаемой против часовой стрелки, если смотреть с положительной части оси OX.
Решение.
Рисунок 7
Чтобы свести подынтегральное выражение к одной переменной, перейдём в цилиндрическую систему координат: . Т.к. точка перемещается по кривой , то считаем параметром полярный угол , , и получаем следующие параметрические уравнения этой кривой:
. Тогда .
Подставим полученные выражения в формулу для вычисления циркуляции:
Ц .
Учитывая свойства интегралов по симметричному интервалу от нечётных и чётных функций, получим: , и
Ц .
Ответ: Ц= .