- •§1. Скалярные и векторные поля.
- •§2. Поверхности и линии уровня.
- •§3. Производная по направлению скалярного поля.
- •Контрольное задание 2.
- •§4. Градиент скалярного поля.
- •Контрольное задание 3.
- •§5. Векторные линии поля.
- •Контрольное задание 4.
- •§6. Линейный интеграл векторного поля.
- •Формула Грина.
- •Контрольное задание 5.
- •§7. Потенциальное векторное поле.
- •Примеры потенциальных полей.
- •Контрольное задание 6.
- •§8. Поток векторного поля.
- •Контрольное задание 7.
- •§9. Дивергенция векторного поля. Соленоидальное векторное поле.
- •Формула Остроградского – Гаусса.
- •Контрольное задание 8.
- •§10. Ротор (вихрь) векторного поля. Формула Стокса.
- •Контрольное задание 9.
- •§11. Операторы Гамильтона и Лапласа.
- •Дифференциальные операции второго порядка.
- •Запись дифференциальных операций второго порядка в операторной форме.
- •Контрольное задание 10.
- •Ответы к контрольным заданиям.
- •Список литературы.
- •Оглавление.
- •Скалярные и векторные поля. 4
Контрольное задание 3.
1) Найти градиент скалярного поля в точке .
2) Найти наибольшую скорость возрастания поля в точке .
3) Найти производную функции в точке в направлении, перпендикулярном к линии уровня, проходящей через данную точку.
4) В каких точках градиент скалярного поля :
а) параллелен оси OZ; б) перпендикулярен оси OZ; в) равен 0?
5) Найдите угол между градиентами скалярного поля в точках и
§5. Векторные линии поля.
Определение 4. Векторными линиями векторного поля называются такие линии, у которых касательная в каждой точке направлена вдоль заданного в этой точке вектора поля.
В физике это понятие для конкретных полей имеет физический смысл, например, векторные линии поля тяготения, электрического и магнитного полей - это силовые линии, а поля скоростей – линии тока, т.е. линии, по которым движутся частицы поля.
Пусть векторная линия, проходящая через точку , описывается уравнениями , где t – параметр. Из условия коллинеарности касательного вектора и вектора поля в произвольной точке дифференциальное уравнение этой линии имеет вид: , (2)
где λ – некоторое число.
Уравнение (2) - это дифференциальное уравнение векторных линий в векторной форме.
В пространстве в декартовой системе координат: , . Тогда векторное уравнение (2) эквивалентно системе дифференциальных уравнений:
, (3)
Система (3) – это симметричная форма системы дифференциальных уравнений. Для её решения применяются интегрируемые комбинации, с привлечением свойств равных дробей. Для плоского поля система имеет вид
. (4)
Определение 5. Поверхность, состоящая из векторных линий, проведённых через каждую точку некоторой замкнутой линии l, называется векторной трубкой.
В следующих примерах для данных векторных полей найдём уравнения векторных линий и построим их.
Пример 7. Векторное поле .
Решение. Поле, у которого , определено на всей плоскости XOY,следовательно, через каждую точку плоскости проходит хотя бы одна векторная линия. Составим дифференциальное уравнение векторных линий: (см. (4)). Это уравнение с разделяющимися переменными. Решим его: , или - уравнения векторных линий. При С=0 это точка О(0,0), при С>0 – концентрические окружности.
Д
Рисунок 4
Ответ: - уравнения векторных линий.
Пример 8. Векторное поле .
Р
ешение.
Поле, у которого
,
определено на всей плоскости XOY
Составим
дифференциальное уравнение векторных
линий:
.
Решим его:
Рисунок 5
. Рассмотрим случай . Тогда , т.е. ось OY тоже является векторной линией. Определим направление движения поля. Т.к. то вектор в любой точке составляет острый угол с осью OY (см.Рисунок 5).
Ответ: - уравнения векторных линий.
Пример 9. Найти векторные линии поля .
Решение. Дифференциальные уравнения векторных линий: (см. (3)). Из уравнения следует - первый интеграл системы. Получили семейство плоскостей, проходящих через ось OY. Вторую интегрируемую комбинацию составим следующим образом.
Умножим числители и знаменатели системы соответственно на : .
Складывая, по свойству равных дробей получим:
, или - ещё один первый интеграл системы. - семейство сфер радиуса .
Ответ: векторные линии задаются системой (пересечением пар поверхностей):