Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Teoria_polya_mp.doc
Скачиваний:
29
Добавлен:
09.11.2019
Размер:
3.24 Mб
Скачать

§3. Производная по направлению скалярного поля.

Пусть - скалярное поле, заданное в области . - единичный фиксированный вектор. М – фиксированная точка, . - произвольная, отличная от М, точка из G, такая, что вектор коллинеарен . Пусть - величина направленного отрезка (равная , если и равная - , если ).

Определение 2. Число называется производной скалярного поля в направлении в точке М и обозначается символом .

Производная скалярного поля в направлении в точке М равна скорости изменения поля в этой точке в данном направлении. Если , то при перемещении из точки М в направлении значение поля (функция ) возрастает, если - убывает.

Пусть поле задано в декартовой системе координат и - единичный вектор данного направления. Тогда производная скалярного поля в направлении в точке M вычисляется по формуле: = + ,где α,β,γ – углы, образуемые вектором с соответствующими осями координат и .

Если , то , , ,

Для плоского поля производная по направлению вычисляется по формуле: = + = + .

Пример 3. Установить характер изменения поля, заданного функцией в точке в направлении от А к точке .

Решение. , , .

Значения производных в точке А:

= +

Ответ: Т.к. поле убывает в направлении .

Пример 4. Найти производную функции в точке в направлении, составляющем угол с положительным направлением оси ОХ.

Решение. Для плоского поля = + .

Значения производных в точке M: , . Ответ:

Контрольное задание 2.

Найти производную функции:

1) в точке в направлении вектора , составляющем угол с положительным направлением оси ОХ;

2) в точке в направлении вектора , где ;

3) в точке в направлении вектора ;

§4. Градиент скалярного поля.

Определение 3. Градиентом скалярного поля называется вектор-функция , (1)

координатами которой являются соответствующие частные производные данной функции.

Если - единичный вектор данного направления, то из формулы (1) следует, что производная по направлению - это скалярное произведение векторов и ,т.е .

Но = . Тогда , т. к. .

Здесь - угол между вектором градиента в данной точке и вектором .

О

Рисунок 3

тсюда следуют основные свойства градиента функции:

1. Вектор в данной точке указывает направление наибольшего роста поля (функции ) в этой точке. При этом - наибольшее значение производной по направлению в точке M. (Таким образом, вектор не зависит от выбора системы координат, а его модуль и направление в каждой точке определяются функцией ).

2. Градиент скалярного поля в точке М ортогонален к поверхности (линии) уровня поля, проходящей через точку М.

3. Если - поле постоянно, то его градиент равен 0.

4. Справедливы формулы:

а) ; б)

в) ; г)

д) , где U и V – скалярные поля.

е) .

Пример 5. Найти градиент электростатического поля , где е - заряд, - расстояние от данной точки до заряда.

Решение. Данному полю принадлежат все точки пространства за исключением начала координат, где U обращается в бесконечность.

По определению: . Вычислим частные производные:

.

Ответ: .

Пример 6. Найти наибольшую скорость возрастания функции в точке .

Решение. Направление наибольшего возрастания поля указывает вектор градиента этого поля. .

Вычислим значения частных производных в точке M:

Наибольшая скорость возрастания равна наибольшему значению производной по направлению точке M

Ответ: Наибольшая скорость возрастания функции

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]