- •§1. Скалярные и векторные поля.
- •§2. Поверхности и линии уровня.
- •§3. Производная по направлению скалярного поля.
- •Контрольное задание 2.
- •§4. Градиент скалярного поля.
- •Контрольное задание 3.
- •§5. Векторные линии поля.
- •Контрольное задание 4.
- •§6. Линейный интеграл векторного поля.
- •Формула Грина.
- •Контрольное задание 5.
- •§7. Потенциальное векторное поле.
- •Примеры потенциальных полей.
- •Контрольное задание 6.
- •§8. Поток векторного поля.
- •Контрольное задание 7.
- •§9. Дивергенция векторного поля. Соленоидальное векторное поле.
- •Формула Остроградского – Гаусса.
- •Контрольное задание 8.
- •§10. Ротор (вихрь) векторного поля. Формула Стокса.
- •Контрольное задание 9.
- •§11. Операторы Гамильтона и Лапласа.
- •Дифференциальные операции второго порядка.
- •Запись дифференциальных операций второго порядка в операторной форме.
- •Контрольное задание 10.
- •Ответы к контрольным заданиям.
- •Список литературы.
- •Оглавление.
- •Скалярные и векторные поля. 4
§3. Производная по направлению скалярного поля.
Пусть - скалярное поле, заданное в области . - единичный фиксированный вектор. М – фиксированная точка, . - произвольная, отличная от М, точка из G, такая, что вектор коллинеарен . Пусть - величина направленного отрезка (равная , если и равная - , если ).
Определение 2. Число называется производной скалярного поля в направлении в точке М и обозначается символом .
Производная скалярного поля в направлении в точке М равна скорости изменения поля в этой точке в данном направлении. Если , то при перемещении из точки М в направлении значение поля (функция ) возрастает, если - убывает.
Пусть поле задано в декартовой системе координат и - единичный вектор данного направления. Тогда производная скалярного поля в направлении в точке M вычисляется по формуле: = + ,где α,β,γ – углы, образуемые вектором с соответствующими осями координат и .
Если , то , , ,
Для плоского поля производная по направлению вычисляется по формуле: = + = + .
Пример 3. Установить характер изменения поля, заданного функцией в точке в направлении от А к точке .
Решение. , , .
Значения производных в точке А:
= +
Ответ: Т.к. поле убывает в направлении .
Пример 4. Найти производную функции в точке в направлении, составляющем угол с положительным направлением оси ОХ.
Решение. Для плоского поля = + .
Значения производных в точке M: , . Ответ:
Контрольное задание 2.
Найти производную функции:
1) в точке в направлении вектора , составляющем угол с положительным направлением оси ОХ;
2) в точке в направлении вектора , где ;
3) в точке в направлении вектора ;
§4. Градиент скалярного поля.
Определение 3. Градиентом скалярного поля называется вектор-функция , (1)
координатами которой являются соответствующие частные производные данной функции.
Если - единичный вектор данного направления, то из формулы (1) следует, что производная по направлению - это скалярное произведение векторов и ,т.е .
Но = . Тогда , т. к. .
Здесь - угол между вектором градиента в данной точке и вектором .
О
Рисунок 3
1. Вектор в данной точке указывает направление наибольшего роста поля (функции ) в этой точке. При этом - наибольшее значение производной по направлению в точке M. (Таким образом, вектор не зависит от выбора системы координат, а его модуль и направление в каждой точке определяются функцией ).
2. Градиент скалярного поля в точке М ортогонален к поверхности (линии) уровня поля, проходящей через точку М.
3. Если - поле постоянно, то его градиент равен 0.
4. Справедливы формулы:
а) ; б)
в) ; г)
д) , где U и V – скалярные поля.
е) .
Пример 5. Найти градиент электростатического поля , где е - заряд, - расстояние от данной точки до заряда.
Решение. Данному полю принадлежат все точки пространства за исключением начала координат, где U обращается в бесконечность.
По определению: . Вычислим частные производные:
.
Ответ: .
Пример 6. Найти наибольшую скорость возрастания функции в точке .
Решение. Направление наибольшего возрастания поля указывает вектор градиента этого поля. .
Вычислим значения частных производных в точке M:
Наибольшая скорость возрастания равна наибольшему значению производной по направлению точке M
Ответ: Наибольшая скорость возрастания функции