Предел отображения обозначается:
.
(14)
Очевидно,
что для любого
справедливы неравенства
.
Тогда
ясно, что из условия (14) следует
.
Определение
4. Пусть
и является его предельной точкой.
Отображение
называется непрерывным
в точке
,
если оно определено в точке
и существует предел
при
равный
,
т.е.
.
Если – изолированная точка множества , то считается непрерывной в точке .
Ясно,
что отображение
непрерывно в точке
каждая функция
непрерывна в точке
как функция n-переменных.
Определение
5. Отображение
,
определенное на открытом множестве
называется дифференцируемым
в точке
,
если каждая функция
дифференцируема в точке
.
Так
как каждая функция n-переменных
дифференцируемая в точке
,
то ее полное приращение в этой точке
имеет вид
,
где
;
.
Эти
полные приращения
представляют собой m
скалярных равенств, и их можно записать
в векторном виде в пространстве
,
(15)
где
,
(16)
.
Более подробно (15) можно записать так:
.
Определение
6. Векторы
(16) называют частными
производными
отображения
в точке
по переменным
.
Определение
7. Отображение
,
линейное относительно переменных
называют дифференциалом
отображения
в точке
и обозначают
.
(17)
Заметим,
что
– дифференциал независимой переменной
.
Формулы (15) и (17) можно записать в матричной
форме:
,
(18)
где
называется матрицией Якоби, а
;
.
Матрица
Якоби называется также производной
вектор-функции
в точке
,
и обозначается
.
Заметим, что градиент функции переменных
есть частный случай матрицы Якоби при
,
и поэтому он также является производной
этой функции.
Если , то матрица Якоби квадратная размерностью n:
.
Определитель
такой матрицы Якоби называется якобианом
и обозначается
.
Пример 8.
Найти дифференциал отображения
в точке
,
где
.
Решение.
Для функций
,
,
найдем матрицу Якоби
в точке
.
Получаем
.
Тогда
.
Пример
9. Найти
якобиан
отображения
Решение.
.
Снова
рассмотрим случай, когда
.
– вектор-функция, определенная на
открытом множестве
.
Будем интерпретировать
как векторное поле на
.
Определение
8. Векторное
поле
называется потенциальным,
если существует такая дифференцируемая
функция n-переменных
,
что
.
(19)
Функция
называется потенциалом
векторного поля
.
В силу дифференцируемости функции
из (19) следует
или
.
Таким образом, потенциал векторного поля есть функция , градиентом некоторой является функции , т.е. само векторное поле.
Из
определения следует, что потенциал
векторного поля определяется с точностью
до постоянной С.
Если
и
два потенциала векторного поля
,
то
.
Теорема 8.6. Для того, чтобы дифференцируемое векторное поле, определенное в , было потенциальным, необходимо выполнение следующих условий:
.
(20)
Пусть
– потенциал поля
,
тогда
.
Из дифференцируемости векторного поля
следует, что
дважды дифференцируема на
.
Тогда в силу теоремы о равенстве смешанных
производных
.
■
Замечание
1. Для
векторного поля на плоскости
условие (20) имеет вид:
.
Для
векторного поля в пространстве
условия (20) будут иметь вид
.
Замечание 2. При некоторых предположениях относительно множества условия (20) являются и достаточными.