20. Магнітне поле елемента струму.

,

- теплова швидкість хаотичного руху електронів

- дрейфова швидкість електронів

Це закон Біо-Савара-Лапласа.

Приклад.

Розглянемо магнітне поле прямого струму.

21. Закон Біо-Саварра-Лапласа.

Де – вектор, що числово дорівнює довжині dl елемента провідника і збігається за напрямком з електричним струмом, – радіус-вектор, проведений від елемента провідника dl до точки поля А, що розглядається (рис. 105), – магнітна стала.

Отже, модуль індукції магнітного поля малого елемента dl провідника зі струмом прямо пропорційний до сили струму І, довжини елемента dl провідника, обернено пропорційний до квадрата відстані r від елемента провідника до розглядуваної точки поля, а також залежить від кута між напрямками струму і радіус-вектора (рис. 105):

22. Закон повного струму в інтегральній та диференціальній формах.

Повним струмом називається алгебраїчна сума струмів, які перерізають поверхню, обмежену замкненим контуром (або зчеплених з контуром).

Рис.2.2 - До закону повного струм

Закон повного струму: намагнічуюча сила вздовж контуру дорівнює повному струму, який проходить через поверхню, обмежену цим контуром:

або .

Якщо припустити, що контур сумісний з магнітною лінією, то

.

Якщо напруженість поля в усіх точках контуру однакова, то

.

Тоді закон повного струму буде мати вид:

.

Закон повного струму є основним законом при розрахунку магнітних кіл і дає можливість у деяких випадках легко визначити напруженість поля.

23. Магнітний потік.

Магнітний потік (потік магнітної індукції) Ф, що пронизує плоску поверхню площею S в магнітному полі, — це скалярна величина, яка дорівнює добутку модуля вектора магнітної індукції В на площу поверхні S і косинус кута α між векторами і (нормаллю до поверхні):

Якщо магнітний потік рівномірно пронизує площадку і перпендикулярний до неї то

.

В загальному випадку якщо потік нерівномірний, то площадка розбивається на маленькі елементи . Тоді потік

.

За додатній його напрям вибирають такий, що збігається з напрямом переміщення гвинта з правою нарізкою під час обертання його в напрямі струму. [Ф] = 1 Вб (вебер).

24. Принцип неперервності магнітного потоку.

Принцип неперервності ліній магнітного потоку:

Перетворення відбувається по петлі гістерезиса.

Матеріали з високою остаточною магнітною індукцією (В_ост) називаються магнітожорсткі.

Принцип неперервності свідчить про те, що магнітне поле є вихровим , тобто силові лінії не мають ні початку ні кінця, тому дивергенція цього поля дорівнює нулю.

Вихровий характер магнітного поля

Введемо циркуляцію вектора магнітної індукції. Циркуляцією вектора по замкненому контуру називається інтеграл ,де – вектор елемента довжини контуру, напрямлений вздовж обходу контуру, – проекція вектора на дотичну до контуру, кут між векторами .

Розглянемо магнітне поле нескінченного прямолінійного провідника зі струмом І, що знаходиться у вакуумі.

Лінії магнітної індукції цього поля є кола, площини яких перпендикулярні до провідника, а центри лежать на осі провідника. Знайдемо циркуляцію вектора вздовж кола радіуса r. У всіх точках кола вектор числово дорівнює і напрямлений по дотичній до кола.

Звідси можна зробити два висновки:

1. магнітне поле прямолінійного струму – вихрове поле, бо циркуляція вектора вздовж ліній індукції не дорівнює 0;

2. циркуляція вектора магнітної індукції поля прямолінійного струму однакова вздовж будь-якої лінії індукції і дорівнює .

Цю формулу можна використати до замкненого контуру L довільної форми, який охоплює нескінченно довгий прямолінійний провідник зі струмом І .

Якщо контур не охоплює провідник зі струмом.

У всіх випадках, які розглядались вище, кут гострий, тобто з кінця вектора густини струму , напрямленого по осі провідника в бік струму, обхід по контуру L відбувається проти стрілки годинника. При протилежному напрямку обходу контуру L або при протилежному напрямку струму в провіднику.

Надалі використовуватимемо таке правило знаків струмів: позитивним вважається струм, напрямок якого зв’язаний з напрямком обходу по контуру правилом свердлика; струм протилежного напрямку вважається негативним.

На практиці магнітне поле, переважно, створюється кількома провідниками, по яких проходять струми тощо.

Кожен з інтегралів, що стоїть під знаком суми, дорівнює якщо струм охоплюється контуром, або 0, якщо струм не охоплюється контуром.

Рівняння є математичним виразом закону повного струму для струмів провідності:

циркуляція вектора по довільному замкненому контуру дорівнює добутку магнітної сталої на алгебраїчну суму струмів, що охоплюються цим контуром.

Отриманий вираз закону повного струму справедливий лише для магнітного поля у вакуумі, оскільки для поля у речовині слід враховувати молекулярні струми.

 

Магнітне поле в областях «поза струмом»

Магні́тне по́ле — складова електромагнітного поля, за допомогою якої здійснюється взаємодія між рухомими електрично зарядженими частинками.

Магнітне поле - складова електромагнітного поля, яка створюється змінним у часі електричним полем, рухомими електричними зарядами або спінами заряджених частинок. Магнітне поле спричиняє силову дію на рухомі електричні заряди. Нерухомі електричні заряди з магнітним полем не взаємодіють, але елементарні частинки з ненульовим спіном, які мають власний магнітний момент, є джерелом магнітного поля і магнітне поле спричиняє на них силову дію, навіть якщо вони перебувають у стані спокою.

Магнітне поле утворюється, наприклад, у просторі довкола провідника, по якому тече струм або довкола постійного магніту.

Магнітне поле є векторним полем, тобто з кожною точкою простору пов'язаний вектор магнітної індукції який характеризує величину і напрям магнітого поля у цій точці і може мінятися з плином часу. Поряд з вектором магнітної індукції , магнітне поле також описується вектором напруженості .

У вакуумі ці вектори пропорційні між собою: , де k - константа, що залежить від вибору системи одиниць. В системі СІ, - так званій магнітній проникності вакууму. Деякі системи одиниць, наприклад СГСГ, побудовані так, щоб вектори індукції та напруженості магнітного поля тотожно дорівнювали один одному: .

Однак у середовищі ці вектори є різними: вектор напруженості описує лише магнітне поле створене рухомими зарядами (струмами) ігноруючи поле створене середовищем, тоді як вектор індукції враховує ще й вплив середовища:

^[1]

де - вектор намагніченості середовища.

Скалярний магнітний потенціал

Звичайно, отнормированные по скалярному магнітному потенціалу магнітні моменти можна ввести тепер і в розкладання векторного потенціалу. [1] Збіжність систем різницевих рівнянь для скалярного магнітного потенціалу t / M і для сторонньої складової векторного потенціалу Лотор досить добре досліджена. Збіжність системи для вихрової складової векторного потенціалу Лв залежить від кроку сітки і електромагнітних параметрів торцевих елементів конструкції. Це витікає з наступного аналізу. [2] Позначимо: UMX - різниця скалярних магнітних потенціалів між сердечником і корпусом в перерізі, що знаходиться на відстані х від початку обмотки; AL / MV - приріст 1 х на ділянці ДАТ; ФЛ - магнітний потік в перерізі стержня або корпусу па відстані х від початку обмотки; ДФд - приріст потоку на ділянці Дх. [3] Чому, незважаючи на неоднозначність скалярного магнітного потенціалу, визначувана з його допомогою напруженість поля однозначна. [4]

Усередині дроту із струмом поняття скалярного магнітного потенціалу не може бути введене, але поняття функції потоку повністю зберігається. [5] Позначимо: UMX - різниця скалярних магнітних потенціалів між сердечником і корпусом в перерізі, що знаходиться на відстані х від початку обмотки; А. [6] Як і потенціал електричного поля, скалярний магнітний потенціал усюди безперервний, оскільки напруженість магнітного поля кінцева в усіх точках простори. [7] Перша рівність виходить з самого поняття скалярного магнітного потенціалу, друге ж - з того міркування, що напруженість поля чисельно дорівнює потоку вектору Я, що проходить через одиницю поверхні, нормальної до ліній магнітного поля.

Рівняння Пуасона для скалярного потенціалу

Згідно з теоремою Гауса:

(1.21)

– рівняння Пуассона, дає можливість переходу .

Бувають випадки, коли заряди знаходяться на нескінченності, тобто в усіх точках. Тоді

(1.22)

рівняння Лапласа.

Магнітна напруга

Напруженість магнітного поля – вектор, напрям якого співпадає з напрямом поля в даній точці.

Добуток напруженості магнітного поля на довжину ділянки магнітної лінії називають магнітною напругою (А).

Магнітна напруга, прийнята по всій довжині лінії магнітної індукції, називається магніторушійною силою (МРС) або намагнічуючою силою

Перше рівняння Максвела в інтегральній та диференціальній формах

Рівняння Максвела є одними з фундаментальних основ електродинаміки. Розглянемо перше рівняння Максвела.

Між векторами електричного поля (Е, Р, D) і векторами магнітного поля (В, М, Н) існує тісний зв’язок. Тому саме використання цих векторів є основою при виведенні рівнянь Максвела.

Для лінійних ізотропних середовищ електромагнітне поле може бути визначено двома векторами Е та Н. Всі електромагнітні процеси відносяться до макроскопічної електродинаміки і підкоряються законам, які були сформульовані в 1873 році законам Максвела у вигляді диференціальних рівнянь.

Перше рівняння Максвела є узагальненям закону повного струму. Закон Ампера в до Максвела формулювався так: Циркуляція вектора напруженості Н магнітного поля по замкненому контуру Г дорівнює струму І, який пронизує даний контур:

І=

Максвел дав формулювання закону повного струму. Він ввів поняття струму зміщення і використавши роботи Фарадея припустив, що у випадку змінних полів, струм зміщення з точки зору утворення магнітного поля є рівноцінний струму провідності.

В результаті було введено поняття про повний вид струму – струм зміщення.

J^см= (А/м²)

D – ел. Зміщення.

J^см= ε₀ + струм зміщення (1)

Перша складова виразу (1) співпадає із струмом зміщення у вакуумі, тобто визначає чистий струм зміщення який не пов’язаний з рухом зарядів Друга складова визначає струм зміщення, що зумовлений рухом зарядів, які пов’язані з станом речовини в результаті дії змінного поля. Максвел запропонував закон повного струму, з врахуванням струмів зміщення:

= І_пр. + І_зм.

Для того, що б рівняння було справедливим треба додати струм зміщення:

перше рівняння Максвела в інтегральній формі

Ампер експерементально встановив що величина сили взаємодії двох елементарних струмів пропорційна силам струмів I₁,I₂, довжинам проміжків дротів dl₁,dl₂ по яким течуть струми і які обернено пропорційні квадрату відстані між ними:

.

Сила, що діє на елемент струму 2, перпендикулярна до цього елементу і лежить в лощині, що містить елементи струму 1 та радіус вектор

– закон Ампера (тут r₀ – одиничний радіус-вектор).

Закон Ампера можна застосувати тільки до замкнутих провідників ( в іншому разі порушуеться третій закон Ньютона)

Закон повного струму

Розглянемо в просторі уявний контур , що обмежує поверхню . Задамо на даному контурі напрям обходу так, що рух вздовж контура з кінця вектора елементарної площадки спостерігалось в напрямку протии часової стрілки .

Припустимо далі, що поверхня пронизується деякою системою струмів, яка може носити як дискретний характер, так і бути неперервно розподіленим. Будемо вважати, що вони розподілені в просторі неперервно з деякою щільністю . Тоді повний струм, що пронизує контур має вигляд

(1)

Закон повного струму стверджує, що циркуляція по контуру вектора напруженості магнітного поля, що визваний протікання струму , рівна повному струму, тобто

(2)

Співвідношення (2) формулює закон повного струму в інтегральній формі. Для того щоб знайти диференціальну форму цього закону, тобто звязати щільність повного струму в даній точці з напруженістю магнітного поля, треба скористатися теоремою Стокса, яка стверджує, що для будь якого векторного поля справедлива рівність

Скориставшись останньою формулою і перетворивши з її допомогою вираз 2 отримаємо

Звідки через довільність вибраного контура отримаємо

Формула 3 є законом повного струму в диференціальній форм

Повний електричний струм

Повний електри́чний струм — впорядкований рух заряджених частинок у просторі. У металах це електрони, напівпровідниках - електрони та дірки, у електролітах - позитивно та негативно заряджені іони, у іонізованих газах — іони та електрони. За напрямок струму вибирають рух позитивно заряджених частинок. Таким чином, напрямок струму в металах протилежний напрямку руху електронів.

Кількісно електричний струм характеризується диференційною векторною величиною густиною струму, або у випадку струму в проводах інтегральною величиною силою струму.

Густина струму називають векторну величину, що визначається, як величина заряду, яка протікає через одиничну площу за одиницю часу. Вона позначається, зазвичай, латинською літерою . Напрямок густини струму визначається напрямком потоку заряду.

Силою струму через провідник називається величина

,

що відповідає кількості заряду , переміщеному через перетин провідника за проміжок часу . У системі СІ сила струму вимірюється в амперах. Відповідно, густина струму вимірюється в A/м².

Якщо за кожен проміжок часу заряд однаковий і напрямок струму незмінний, то такий струм називають постійним.

У випадку, коли ці величини змінні, силу струму описують так:

.

Такий струм називають змінним.

Повний електричний струм створює магнітне поле, напруженість якого визначається законом Біо-Савара. Магнітне поле, створене струмом, використовується для вимірювання сили струму.

Проходження повного електричного струму через речовину приводить до тепловиділення. У випадку провідника зі скінченним опором це тепловиділення описуєтсья законом Джоуля-Ленца. При проходженні струму через контакт двох провідників тепло може як виділятися, так і поглинатися (ефект Пельтьє). Аналогічні до ефекту Пельтьє явища винакають при проходженні електричного струму через провідник із нерівномірним розподілом температури.

Повний електричний струм в газах викликає світіння, що є частковим випадком електролюмінесценції. Аналогічні явища виникають у світлодіодах. При проходженні через електроліт електричний струм супроводжується хімічними реакціями на електродах, які можуть покриватися шаром металу, що виділяється з електроліту.

Друге рівняння Максвела в інтегральній та диференціальних формах

Оскільки в рівняннях Максвела присутні похідні по часу, то будемо вважати, що всі електромагнітні процеси в електродинаміці змінюються в часі від - до +, тому E(t) і H(t) будуть змінюватися по закону sin(t) або cos(t).

 

 

 

Для будь-якого сигналу ми можемо розкласти і в ряд Фурь’є і розглядати електромагнітні процеси для кожної гармонічної складової окремо.

 

Остаточно рівняння Максвела для комплексних амплітуд:

Основна перевага методу комплексних амплітуд - нема похідної, а тільки множення на j.

Друге рівняння Максвела:

Третє рівняння:

Четверте рівняння:

Для матеріальних рівнянь:

- це тензор діелектричної проникності

- комплексна провідність (є дійсна і уявна частини)

При наявності магнітних зарядів та струмів цю систему можна записати в такому вигляді:

(  )

- комплексна речовина

(  )

Тепер ці рівняння стають симетричними. Щоб отримати (  ) з (  ) треба зробити заміну:

(4)

Ми отримали принцип переставної подвійності рівнянь Максвела. Що цей принцип дає? Розв'язавши рівняння для електричних струмів ми можемо відразу записати розв'язок рівнянь для магнітних струмів, не розв'язуючи спочатку, а скориставшись принципом переставної подвійності (тобто заміною (4)

Повна система рівнянь Максвела в діелектрику

Система рівнянь Максвела

1)		Закон електромагнітної індукції
2)		Теорема Гауса для магнітного поля
3)		показує. що змінне електричне поле утворює у просторі змінне магнітне поле
4)		Теорема Гауса для електричного поля

Матеріальні співвідношення:

.

Диференціальну систему рівнянь доповнюють граничними умовами:

D_2n=D_1n E_2=E_1 B_2n=B_1n H_2=H_1

Рівняння Максвела для провідного середовища

У речовині електричне та магнітні поля характеризуються додатковими векторами: електричною індукцією та напруженістю магнітного поля, зв'язаних з, відповідно, напруженістю електричного поля й магнітною індукцією співвідношення, які називають матеріальними. У загальному вигляді матеріальні співвідношення мають складну нелокальну форму, тому при запису основних рівнянь електродинаміки їх не наводять. Рівняння набирають вигляду

,

,

.

Тут - густина вільних зарядів. Внесок зв'язаних зарядів враховується при визначенні вектора електричної індукці .

У системі СІ навіть для вакууму вводяться дві додаткові характеристики електромагнітного поля: вектор електричної індукції та напруженість магнітного поля. У вакуумі вони пов'язані з напруженістю електричного поля та магнітною індукцією за допомогою сталих множників

,

де  — електрична стала,  — магнітна стала, тому система диференційних рівнянь Максвелла має такий вигляд:

,

,

.

У речовині рівняння зберігають свій вигляд, за винятком того, що матеріальні співвідношення, тобто зв'язкок між та , та мають складнішу форму, і замість густини усіх електричних зарядів враховуються тільки вільні електричні заряди.

Плоска електромагнітна хвиля та її розповсюдження в однорідному провідному середовищі

Плоскою електромагнітною хвилею називається хвиля, в якої поверхня рівних фаз являє собою площину.

Плоска хвиля називається однорідною, якщо вектори поля і при відповідному виборі напрямків осей координат залежать від однієї просторової координати і від часу. Якщо плоска хвиля лінійно поляризована, то напрямки векторів (і перпендикулярних до них векторів ) у всьому просторі паралельні один одному.

Нехай електромагнітна хвиля поширюється в ідеальному σ=0 однорідному, ізотропному, лінійному, з постійними параметрами діелектрику без електричних зарядів (q=0) і струмів провідності (J=0). Нехай μ=1, а ε=const.

Джерело електромагнітної енергії значно віддалено від точки спостереження. Хвильовим фронтом можна вважати площину z=const. Таку хвилю називають плоскою. Вона може створюватися випроміненням нескінченної площини. Реально — це сферичні хвилі, що знаходяться на великій віддалі від джерелa.

Існує підстава вважати, що поле уздовж цієї площини не змінюється, тобто складові . Хвиля є однорідною.

Використовуючи рівняння Максвелла, можна визначити зв'язок між складовими електромагнітного поля і , швидкістю поширення і структурою ЕМХ, вважаючи, що поле збуджується гармонічним струмом з частотою ω.

Завдяки лінійності середовища вектори і також змінюються за гармонічним законом:

• і є комплексними амплітудами векторів, а їхні проекції на осі координат , і т. д.) — комплексними амплітудами проекцій.

Поширення плоских хвиль у середовищі без втрат

Таким середовищем є вакуум,а близьким до нього є сухе повітря. На практиці зустрічаються випадки, коли за умов конкретної задачі втратами можна знехтувати. У всіх цих випадких можна вважати, що йде мова про середовище, в якому σ=0 і tgδ=0. В цьому випадку , a=0.

Фазова швидкість плоскої хвилі буде дорівнювати

Групова швидкість

З цього видно що в таких середовищах фазова і групова швидкості рівні між собою.

Хвильовий опір є дійсним числом, а вектори та зберігаються за фазами: