- •Х.Г. Акопянц теория линейных электрических цепей
- •Часть I
- •Учебное пособие.
- •Часть 1.
- •Рассмотрим в качестве отклика ток, протекающий в заданной цепи (рис. 1.1):
- •Отклик линейной цепи на суммарное воздействие равен сумме откликов этой же цепи на каждом из слагаемых воздействий в отдельности.
- •3. Схемные функции электрических цепей
- •В общем виде, функции цепи выражаются следующими соотношениями:
- •Вычислить переходную характеристику для схемы (рис. 3.16)-дифференцирующая цепь.
- •4. Временные методы анализа линейных цепей
- •Перепишем (4.1) в виде:
- •В этом случае сигнал s(t) может быть представлен в виде:
- •6. Теорема котельникова
- •В самом деле, легко показать(*), что
- •Погрешность восстановления сигнала определяется следующими факторами,
6. Теорема котельникова
В технике цифровой обработки аналоговый сигнал подвергается дискретизации. В этой связи существенным является вопрос об интервале дискретизации сигналов различной формы.
Ответом на заданный вопрос является теорема Котельникова, которая формулируется следующим образом:
Непрерывная функция времени со спектром, ограниченным , может быть полностью представлена отсчетами с интервалом (или ).
Соотношение называют постоянной Котельникова.
Доказательство теоремы базируется на теории обобщенных рядов Фурье.
Запишем представление в виде обобщенного ряда Фурье:
(6.1)
Выберем в качестве базисной функции
,
где - интервал дискретизации;
- верхняя частота спектра функции ;
- числа натурального ряда: 0, 1, 2... и представим в виде ряда
. (6.2)
Здесь - выборка функции в точке . Покажем, что ряд (6.2) является обобщенным рядом Фурье, т.е. - ортогональная функция, а являются коэффициентами обобщенного ряда Фурье.
Проверим ортогональность
В самом деле, легко показать(*), что
при
и, таким образом .
Покажем, что - выборки функции являются коэффициентами обобщенного ряда Фурье .
Формула обратного преобразования Фурье дает значение функции в любой заданной точке, например, в точке .
(6.3)
-Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Ф.-М., 1963.
Учитывая, что спектр согласно определению ограничен и подставляя в (6.3) значение , получим
. (6.4)
Изменим порядок интегрирования в (6.4):
(6.5)
Рассмотрим внутренний интеграл в (6.5):
(6.6)
Подставляя (6.6) в (6.5), получаем окончательно:
(6.7)
Напомним, что
Таким образом, являются коэффициентами обобщенного ряда Фурье при разложении в базисе и мы можем представить функцию со спектром, ограниченным в, виде ряда Фурье:
(6.8)
Множество является спектром функции и однозначно ее характеризует, следовательно, по известному множеству можно восстановить функцию .
Восстановление аналоговой функции по ее отсчетам (выборкам).
Пусть сигнал со спектром, ограниченным , подвергается дискретизации с интервалом (рис.6.1).
Исходная непрерывная функция показана пунктиром.
Функцию можно восстановить с достаточной степенью точности.
Рис.6.1
Просуммируем члены ряда (6.8).
Обозначим восстановленную функцию :
(6.9)
Функция в точках равна 1,
в точках кратных и т.д. обращается в 0. Таким образом , отображенная рядом (6.9) имеет вид (рис.6.2).
Рис. 6.2
6.1 Аппаратурная реализация процесса дискретизации сигнала и его последующего восстановления по отсчетам
Принцип действия системы дискретизация - восстановление поясняется на рис.6.3.
1.Электронный ключ, замыкающий цепь с интервалом . 2. Фильтр нижних частот (ФНЧ).
- исходный сигнал, подвергаемый дискретизации.
- выборки.
- восстановленный сигнал.
Рис. 6.3
Электронный ключ 1 производит выборки сигнала в моменты , и на выходе его получаем последовательность импульсов с амплитудой и длительностью , которые подаются на приемном конце линии на ФНЧ. С выхода ФНЧ получаем последовательность сигналов вида
, (6.10)
которые суммируются со сдвигом во времени и образуют восстановленный сигнал .
Р ис. 6.4
Рассмотрим механизм образования на выходе ФНЧ сигнала вида (6.10). Полагая ФНЧ идеальным, зададим его характеристики следующим образом:
;
граничная частота фильтра ;
- наклон фазовой характеристики фильтра, определяющий время прохождения сигнала через фильтр (время запаздывания).
Определим импульсную характеристику фильтра с заданными параметрами:
Зададим
В этом случае импульсная характеристика ФНЧ будет равна
,
а в момент соответственно:
(6.11)
Таким образом, отклик идеального ФНЧ с заданными выше параметрами на воздействие импульса с амплитудой будет равен
а это и есть член ряда Котельникова.