97. Интегрируемость и дифференцируемость суммы степенного ряда на интервале сходимости.

Пусть функция f(x) разлагается на интервале (-R, R) в степенной ряд f(x)= а₀+а₁+а₂x²+…+а_nxⁿ+…. Рассмотрим степенной ряд а₁+2а₂x+…+nа_nx^n-1+…, полученный почленным дифференцированием ряда f(x)= а₀+а₁+а₂x²+…+а_nxⁿ+…. Тогда: 1) ряд а₁+2а₂x+…+nа_nx^n-1+… имеет тот же радиус сходимости R, что и ряд f(x)= а₀+а₁+а₂x²+…+а_nxⁿ+…; 2) на всем интервале (-R, R) функция f(x) имеет производную f`(x), которая разлагается в степенной ряд а₁+2а₂x+…+nа_nx^n-1+….

Если функция f(x) разлагается в степенной ряд на интервале (-R, R), то она интегрируема в этом интервале. Интервал от суммы ряда равен сумме интегралов от членов ряда.

98. Ряды Тейлора (Маклорена)

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x=0 и имеет в этой точке производные всех порядков. Степенной ряд называют рядом Маклорена для функции f(x).

99. Достаточное условие разложимости функции в ряд Маклорена

Пусть функция f(x) определена и бесконечно дифференцируема в интервале (-r, r). Если существует такая константа М, что во всех точках указанного интервала выполняются неравенства , то в этом интервале ряд Маклорена сходится к функции f(x).

100. Разложение в ряд Маклорена функций

101. Теорема о существовании и единственности решения задачи

Коши для уравнения первого порядка в нормальной форме.

Если в некоторой окрестности точки функция f(x,y) определена, непрерывна и имеет непрерывную частную производную , то существует такая окрестность точки , в которой задачи Коши , имеет решение, притом единственное.

Если задача Коши , имеет единственное решение, то это решение называется частным решением уравнения .

102. Уравнения с разделяющимися переменными. Автономные

уравнения.

Уравнения с разделяющимися переменными. Это дифференциальные уравнения вида: , где f(x) и g(x) – непрерывные функции. Запишем это уравнение в форме: . Для отыскивания решения этого уравнения необходимо, как говориться, разделить в нем переменные, т.е. переписать уравнение следующим образом: в предположении, что в рассматриваемой области . Теперь левая часть уравнения содержит только переменную y, а правая – только x. Интегрируя обе части этого уравнения получим: . Таким образом, найден общий интеграл уравнения.

Частным случаем является автономное уравнение Его интегральные кривые при параллельном переносе вдоль оси абсцисс переходят друг в друга.

103. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциальное уравнение называется однородным, если функция f(x,y) является однородной нулевой степени, т.е. для любого t > 0 область определения функции содержит точки (tx,ty) и выполнено равенство f(tx,ty) = f(x,y). При такое уравнение заменой можно свести к уравнению с разделяющимися переменными.

104. Уравнения в полных дифференциалах.

Уравнение называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая непрерывно дифференцируемая функция U(x,y), что dU = M(x,y)dy + N(x,y)dx. Поскольку то равенство означает, что данное уравнение будет уравнением в полных дифференциалах. Тогда функцию U(x,y) находим интегрированием уравнений системы . Общий интеграл уравнения записывается в виде U(x,y) = C.

105. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Уравнения Бернулли.

Дифференциальное уравнение вида называется уравнением Бернулли. Заменой уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению

106. Линейные дифференциальные уравнения. Фундаментальная

система решений. Определитель Вронского системы решений.

В данном параграфе мы остановимся на свойствах частного и общего решения линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка:

1. Лемма 2.Пусть - произвольные решения линейного однородного дифференциального уравнения и - произвольные постоянные, тогда линейная комбинация также является решением этого уравнения.

Пусть - система, состоящая из К функций, тогда определитель Вронского этой системы имеет вид:

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 7.7. Если функции линейно зависимы, то их определитель Вронского тождественно равен нулю.

Теорема 7.8. Если - линейно независимые решения уравнения , то их определитель Вронского ни при одном значении х не обращается в нуль.

Определение. Систему функций , состоящую из п линейно независимых решений уравнения , будем называть фундаментальным набором решений этого уравнения.

Теорема 7.9 (об общем решении линейного однородного уравнения), Пусть - фундаментальный набор решений уравнения , тогда общее решение этого уравнения задается формулой