52. Открытые и замкнутые множества.

Множество X называется открытым, если все его точки внутренние.

Множество X называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки.

53.Изолированные и предельные точки множества.

Пусть X - множество в Rn. Точка p0 называется предельной для X, если в любой

ε-окрестности точки p0 имеются точки множества X, отличные от p0.

При этом сама точка p0 может как принадлежать, так и не принадлежать множеству X.

Точка p0принадлежащая X называется изолированной точкой множества X, если у нее существует ε-окрестность, в которой никаких других точек из X, кроме p0, нет.

Ясно, что любая точка множества Х является либо изолированной, либо предельной

для Х.

54.Ограниченные множества.

Множество Х принадлежащRⁿназывается ограниченным, если оно целиком содержится в некотором шаре. Пустьр₀ – точка в Rⁿ , а эпсилон – положительное число, тогда Шаром радиуса эпсилон с центром р₀ называется множество всех точек, расстояние которых от р₀ меньше эпсилон.

55.Сходимость последовательности точек в Rn , ее эквивалентность покоординатной сходимости.

56.Функция нескольких переменных.

Способ, который каждой точке х   Rⁿ ставит в соответствие единственную точку у   R^m, называется функцией многих переменных. 

57.Поверхности (линии) уровня функции нескольких переменных.

Линией уровня функции z=f(x,y) называют линию f(x,y) = Сна координатной плоскости, в точках которой функция f принимает постоянное значение С. «поверхность» в Rⁿ .

58.Предел функции нескольких переменных.

Пусть на множестве Х из Rnзадана функция f(р) и пусть р0 – предельная точка для Х. Число а называется пределом функции f в точке р0, если для любой сходящейся к р0 последовательности {p_n}, где все p_nне равны p0, соответствующая числовая последовательность {f(p_n)}сходится к числу а. Предел (при рстремящ к р0) от f(р) = а.

59.Непрерывность функции нескольких переменных.

Функция f(р), определенная на множестве Х из Rn, называется непрерывной в точке р0(принадлежащем Х), если Предел при р стрем к р0 от f(р) = f(р0). Или же если р0 – изолированная точка множ-ка Х.

Фf(р), определенная на множестве Х из Rn, называется непрерывной на этом множистве, если она непрерывна в каждой точке множ Х.

Любая элементарная ф непрерывна на всей области ее определения.

60.Свойства функций, непрерывных на замкнутом ограниченном множестве: ограниченность, достижение наибольшего и наименьшего значений.

1. Если числовая функция f отnпеременных задана на ограниченном и замкнутом множестве Х из Rn, то она ограничена на этом множестве.

2. .. то существует точка р0 принадлежащая Х, в которой f принимает свое наименьшее значение, и точка q0 принадлежащая Х, в которой fпринимает свое наибольшее значение.

61.Частные производные функции нескольких переменных.

Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения частного приращения функции к приращению соответствующей независимой переменной, когда это приращение стремится к нулю.

Частные производные функции z=f(x,y) в точке (x₀,y₀) обозначаются так:

z’x , dz/dx , f’x(x₀,y₀) – производная по x;

z’y, dz/dy, f’y(x₀,y₀) – производная по y.

62.Дифференцируемость функции нескольких переменных.

Пусть функция z=f(x, y) определена в некоторой области D на плоскости xOy. Возьмем точку (x, y)ÎD и выбранным значениям x и y дадим любые приращения Dx и Dy, но такие, чтобы точка (x+Dx, y+Dy)ÎD.

Определение. Функция z=f(x, y) называется дифференцируемой в точке (x, y)ÎD, если полное приращение Dx=f(x+Dx, y+Dy)-f(x,y) этой функции, отвечающее приращениям Dx, Dy аргументов, можно представить в виде Dz=ADx+BDy+a(Dx, Dy)Dx+b(Dx, Dy)Dy , где A и B не зависят от Dx и Dy (но вообще зависят от x и y), а a(Dx, Dy) и b(Dx, Dy) стремятся к нулю при стремлении к нулю Dx и Dy.

63.Дифференциал функции нескольких переменных.

Если функция z=f(x, y) дифференцируема в точке (x, y), то часть ADx+BDy приращения функции, линейная относительно Dx и Dy, называется полным дифференциалом этой функции в точке (x, y) и обозначается символом dz: dz=ADx+bDy (2)

Таким образом, Dz=dz+a×D x+b×D y

64.Достаточное условие дифференцируемости функции нескольких переменных.

Как известно, необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции y=f(x) одной переменной в точке x0 является существование конечной производной f/(x) в точке x0. В случае, когда функция зависит от нескольких переменных, дело обстоит значительно сложнее: необходимых и достаточных условий дифференцируемости нет уже для функции z=f(x, y) двух независимых переменных x, y; есть лишь отдельно необходимые условия и отдельно – достаточные. Эти достаточные условия дифференцируемости функций нескольких переменных выражаются следующей

теоремой. Теорема. Если функция z=f(x, y) имеет частные производные fx/ и fy/ в некоторой окрестности точки (x0, y0) и если эти производные непрерывны в самой точке (x0, y0), то функция z=f(x, y) дифференцируема в точке (x0, y0).

65.Непрерывность дифференцируемой функции.

66.Однородные функции.

Пусть D  – область в , содержащая вместе с каждой своей точкой (Х1,…,Хn) и все точки вида (tx1,…,txn) при t>0.

Ф-ия f(Х1,…,Хn) с такой областью определения D наз однородной степени , если для любого t>0 выполняется рав-но: f(tx1,…,txn)= f(Х1,…,Хn)

Однородный многочлен степени n явл однородной ф-ии той же степени однородности.

67. Формула Эйлера для однородной функции.

Например, формула Эйлера для ф-ии 3х переменных u=f(x,y,z) выглядит так:

(x,y,z)x+ (x,y,z)y+ (x,y,z)z=f(x,y,z)

68.Производная сложной функции.

Пусть f(x,y) – ф-я от 2 переменных х и у, а (t) и (t) – ф-ии от незав переменной t. В этом случае говорят что F(t)=f((t),(t)) - сложная ф-я от t.

Если ф-я х=(t), а у=(t) дифференцируемы в точке t0, а ф-я z= f(x,y) дифференцируема в точке ((t),(t)), то сложная ф-я F(t)=f((t),(t)) также дифференцируема в t0. При этом производная сложной ф-ии нах по формуле:

(t0)= ((t0),(t0)) `(t0) + ((t0),(t0)) `(t0))

69.Производная по направлению.

Производной ф-ии f(x,y) в точке (x0,y0) по направлению e наз предел:

=

70.Градиент. Свойства градиента.

Градиентом ф-ии в точке М наз вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным данной ф-ии в точке М. Для ф-ии 2х пер f(x,y) имеем:

Grad f(M)= ( (M), (M))

3х пер:

Grad f(M)= ( (M), (M), (M))

Свойства градиента

1. Производная в данной точке по направлению вектора имеет наибольшее значение, если направление вектора совпадает с направлением градиента. Это наибольшее значение производной равно .

2. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору , равна нулю.

71) Частные производные высших порядков. Пусть задана функция f(x, y). Тогда каждая из ее частных производных(если они, конечно, существуют) и , которые называются также частными производными первого порядка, снова являются функцией независимых переменных x, y и может, следовательно также иметь частные производные. Частная производная обозначается через или , а через или . Таким образом, , и, аналогично, , . Производные и называются частными производными второго порядка. Определение:Частной производной второго порядка от функции z=f(x;y) дифференцируемой в области D,называется первая производная от соответствующей частной производной. Рассматривая частные производные от них, получим всевозможные частные производные третьего порядка: , , и т. д.

72) Теорема о равенстве смешанных производных.

Смешанные частные производные одной и той же функции, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности.

73) Формула Тейлора для функции нескольких переменных с остаточным членом в форме Лагранжа.

Пусть при всех х принадлежит Е существует (n+1)-я производная . Тогда для любого х существует точка , лежащая между и х (то есть при ), такая что

74) Локальные экстремумы функций нескольких переменных.

Пусть функция определена в некоторой окрестности , , некоторой точки своей области определения. Точка называется точкой локального максимума, если в некоторой такой окрестности выполняется неравенство ( ), и точкой локального минимума, если .      Понятия локальный максимум и локальный минимум объединяются термином локальный экстремум.

75) Необходимое условие локального экстремума функций нескольких переменных.

  Если точка  --это точка локального экстремума функции , и существует производная в этой точке , то .

76) Достаточное условие локального экстремума функций нескольких переменных.

Обозначим Если D > 0, A > 0, то - точка минимума.  Если D > 0, A < 0, то - точка максимума.  Если D < 0, экстемума в точке нет.  Если D = 0, необходимы дополнительные исследования.

77) Условный экстремум.

Условный экстремум- минимальное или максимальное значение, достигаемое данной функцией (или функционалом) при условии, что нек-рые другие функции (функционалы) принимают значения из заданного допустимого множества. Если условия, ограничивающие в указанном смысле область изменения независимых переменных (функций), отсутствуют, то говорят о безусловном экстремуме.

78) Метод Лагранжа

Пусть  — точка условного экстремума функции при выполнении уравнений связи. Тогда в этой точке градиенты являются линейно зависимыми, то есть но .

79) Наибольшее и наименьшее  значение непрерывной  функции на замкнутом  ограниченном множестве.

   Пусть функция z = f(х;у) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области . Тогда она достигает в некоторых точках своего наибольшего М и наименьшего m значений (т.н. глобальный экстремум). Эти значения достигаются функцией в точках, расположенных внутри области , или в точках, лежащих на границе области.

   80) Кратные интегралы и их свойства. Условия интегрируемости функции.

В математическом анализе кратным или многократным интегралом называют множество интегралов, взятых от переменных. Свойства: Линейность по функции. Пусть измеримо, функции и интегрируемы на , тогда . Аддитивность по множеству интегрирования. Пусть множества и измеримы, и . Пусть также функция определена и интегрируема на каждом из множеств и . Тогда интеграл по существует и равен . Монотонность по функции. Пусть измеримо, функции и интегрируемы на , причем . Тогда . Интегральное неравенство треугольника. Следствие предыдущего свойства. Интегральная теорема о среднем. Пусть   - компакт, функция непрерывна и интегрируема на , тогда Постоянная функция интегрируема на любом измеримом множестве , причем . Как следствие, .

Условия: 1) Необходимое условие интегрируемости. Если функция интегрируема на отрезке, то она ограничена на нем. 2) Необходимое и достаточное условие интегрируемости. Для того, чтобы ограниченная на некотором отрезке функция была интегрируема на нем необходимо и достаточно, чтобы lim∣τ∣→0(Sτ−sτ)=0. 3) Интегрируемость непрерывной функции. Если f(x) непрерывна на [a,b]f(x)∈C[a,b] , то она интегрируема на нем. Функция определенная и монотонная на [a,b] интегрируема на нем. Если функция ограничена и непрерывна на отрезке, кроме, может быть, конечного числа точек, то она интегрируема на нем.