1. Докажите, что если F1(x) и F2(x) первообразные функции f(x) на интервале Х, то F2(x)= F1(x)+c, где с-произвольная постоянная
Пусть F1(x) и F2(x) первообразные функции f(x) на интервале Х ,тогда из определения первообразной F1’(x)=f(x) и F2’(x)=f(x)
(F1(x)+c)’=
F1’(x)+c’=f(x)+0=f(x)
F2(x)=
F1(x)+c
,ч.т.д
2.
Докажите, что d(
Исходя из свойства неопределенного интеграла, получаем, что дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению
Действительно,
d(
3. Докажите формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла.
Пусть u(x) и v(x)-2 дифференцируемые функции на промежутке Х.Тогда на Х выполняется формула интегрирования по частям
Доказательство:
d(uv)=udv+vdu
Интегрируем обе части, и по свойству 2 неопределенного интеграла получим:
uv=
,откуда получается исходная формула
4. Докажите формулу замены переменной для неопределенного интеграла
Пусть функция x=g(t) определена и дифференцируема на промежутке Т и Х-множество ее значений, на котором определена f(x). Тогда если F(x)-первообразная для f(x) на Х, то F(g(t))-первообразная для f(g(t))g’(t) на Т, т.е. на множестве Т выполняется равенство
(1)
Доказательство. По правилу дифференцирования сложной функции
Ft’(g(t))=F’x(g(t))*g’(t)=f(g(t))*g’(t)
Что совпадает с подынтегральной функцией в правой части равенства,и это доказывает равенство(1)
5.
Докажите, что если функция f (x) непрерывна
на отрезке [a;b] , то функция F(x)=
является ее первообразной на этом
отрезке
Если функция f(t) непрерывна на отрезке [a,b], то функция F(x)= дифференцируема на (a,b) и F’(x)=f(x)
Доказательство
По
теореме о среднем найдется точка с
такая
,что
.
Так как f(x)
непрерывна и с
Поэтому
6. Используя свойство интеграла с переменным верхним пределом, докажите формулу Ньютона-Лейбница.
Пусть
F(x)
является первообразной для непрерывной
на отрезке [a,b]
функции f(x).
Тогда
Т.к.
функция f(x)
непрерывна на [a,b],
то она интегрируема на нем и имеет
первообразную F(x)=
Подставляя
х=а, получим 0=F(a)+c
, т.е. с=-F(a)
. Тогда
7.
Применив замену переменной в определенном
интеграле, докажите, что для любой
четной непрерывной на отрезке[-a; a]
функции f (x) справедливо равенство
.
В чем состоит его геометрический смысл?
Так
как f(x)
непрерывна на [-a,a],
тогда пусть х=g(t)
определена на [
]
и имеет производную внутри этого
отрезка, причем g(
Доказательство
Пусть F(x) – первообразная f(x), тогда F’(x)=f(x) F(g(t))’=F’(g(t))*g’(t)
Можно заметить, что если подынтегральная функция f(x) четная на отрезке [a,b], то F(x) нечетна на этом отрезке, т.е. F(-x)=-F(x)
1)рассмотрим
=F(0)+F(a)
2)
рассмотрим
=F(a)+F(0)
Получается, что они равны, ч.т. д
Геометрический смысл. Определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной вертикальными прямыми х=а, x=b при a<b, осью Ох и графиком неотрицательной и непрерывной функции y=f(x)
8. Применив замену переменной в определенном интеграле, докажите, что для любой четной непрерывной на отрезке[-a; a] функции f (X) справедливо равенство . В чем состоит его геометрический смысл?
Так как f(x) непрерывна на [-a,a], тогда пусть х=g(t) определена на [ ] и имеет производную внутри этого отрезка, причем g(
Доказательство
Пусть F(x) – первообразная f(x), тогда F’(x)=f(x) F(g(t))’=F’(g(t))*g’(t)
Пусть
и g(
Можно заметить, что если подынтегральная функция f(x) нечетная на отрезке [a,b], то F(x) четная на этом отрезке, т.е. F(-x)=F(x)
1)рассмотрим
=F(0)-F(a)
2)
рассмотрим
=-(F(0)-F(а))
, ч.т. д
Геометрический смысл. Определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной вертикальными прямыми х=а, x=b при a<b, осью Ох и графиком неотрицательной и непрерывной функции y=f(x)
9.Сходится
ли интеграл
?
Т.к.
ограничена, то предел существует, поэтому
интеграл сходится
10.
Сходится ли интеграл
?
11.
При каких значениях α сходится интеграл
? Ответ обоснуйте.
Интегральный
признак сходимости.
Пусть члены числового ряда
являются значениями неотрицательной
непрерывной функции
,
монотонно убывающей на луче [1;+∞). Тогда
ряд
и несобственный интеграл
сходятся или расходятся одновременно.
При
α>1
,
следовательно
интеграл
сходятся.
12.
Сходится ли интеграл
?
Ответ обоснуйте.
Подынтегральная
функция
имеет единственную особую точку x=1
на отрезке интегрирования [0;1]. Первообразной
для данной функции будет
,
которая непрерывна на этом отрезке. По
формуле Ньютона-Лейбница (
)
имеем
Таким образом, данный несобственный интеграл сходится и равен 2.
13.
При каких значениях a>0
сходится интеграл
?
Ответ обоснуйте.
При
0<a<1,
=0,
следовательно, интеграл сходится.
14.
Дайте определение расстояния
между
точками
.
Сформулируйте и докажите свойства
функции
.
В
,
где n>3,
расстояние между точками определяется
формулой
Где, А и В – две произвольные точки из .
Свойства:
,
если
,и
;
-
«неравенство треугольника» (1)
Доказательства: Первые два свойства очевидным образом следуют из определения расстояния.
1)Область
значений функции
равна
.
2)
Дано:
,
тогда
;
.
ЧТД
3) Сначала проверим неравенство (1):
,где
– какие угодно числа. Взяв любое число
х, запишем
равенство 1:
,где
.
Очевидно,
Квадратный трехчлен
,
как показывает левая часть равенства
1, неотрицателен при любом значении
х. Следовательно,
его дискриминант
,
откуда имеем
,
или неравенство 2:
Но если возвести в квадрат обе части неравенства 1 и сократить слева и справа равные слагаемые, то получим неравенство 2.
Опираясь
на неравенство 1, докажем теперь
«неравенство треугольника». Если в
неравенстве 1 положим, что
,
то придем к
, т.е. к «неравенству треугольника» для трех точек p,q,r в .
15.
Дайте определение открытого множества
в
.
Является ли множество
открытым?
Ответ обоснуйте.
Множество
Х
называется открытым, если все его точки
внутренние. Точка р
называется внутренней точкой множества
Х ,
если она содержится в Х
вместе с
некоторой своей
.
Множество
не является открытым, т.к. точка
,
принадлежит D,
но в любой её сколько угодно малой
окрестности
есть точки, не лежащие в D
(например, точки (х,у),
для которых
.
16.
Дайте определение замкнутого множества
в
.
Является ли множество
замкнутым?
Ответ обоснуйте.
Множество
Х
называется замкнутым, если оно содержит
все свои граничные точки. Точка р
называется граничной точкой для Х,
если любая её окрестность содержит как
точки, принадлежащие Х,
так и точки, не принадлежащие Х.
Множество
не является закрытым, т.к. точка
,
не принадлежит D,
но в любой её окрестности
есть
точки, лежащие в D.
17.
Дайте определение открытого множества
в
.
Является ли множество
открытым?
Ответ обоснуйте.
Множество Х называется открытым, если все его точки внутренние. Точка р называется внутренней точкой множества Х , если она содержится в Х вместе с некоторой своей .
Множество
является открытым, т.к.
точки
лежит в D.
18. Дайте определение предельной точки множества. Приведите примеры: а) множества, содержащего все свои предельные точки, б) множества, для которого существует предельная точка, ему не принадлежащая.
Пусть
Х
– множество в
,
точка
называется предельной для Х,
если в любой
Х,
отличные от
.
А)
замкнутый круг:
Б)
замкнутый круг без своего центра
.
В этом случае центр (0,0) и есть та предельная
точка, которая не принадлежит самому
множеству.
19.
Дайте определение сходящейся
последовательности точек в
.
К какой точке в
сходится
последовательность
?
Ответ обоснуйте.
Пусть
- последовательность точек в
.
Мы говорим, что эта последовательность
сходится к точке
,
если числовая последовательность
имеет предел 0. Если А – предел
последовательности, то говорят, что
сходится к точки А.
Поскольку
то
А=(
20. Дайте определение сходящейся последовательности точек в . К
какой
точке в
сходится
последовательность
?
Ответ
обоснуйте.
Пусть
- последовательность точек в
.
Мы говорим, что эта последовательность
сходится к точке
,
если числовая последовательность
имеет придел 0. Если А – предел
последовательности, то говорят, что
сходится к точки А.
Поскольку
=
,
то А=(
21.
Дайте определение предела функции
двух переменных в точке. Найдите предел
функции
в точке (5,0)
Пусть
f(Р)-
функция n
переменных,
-предельная
точка мн-ва D(f).
Число а называется пределом функции
f(Р)
в т.
, если
, сходящимися к
,но
,
справедливо равенство
=а
=a
Т.к.
при
,а
-
ограничена
,то
