43. Сформулируйте теорему о замене переменных в двойном интеграле. Вычислите интеграл, перейдя к полярным координатам,

Т. Пусть Н – ограниченная область в плоскости Ouv; φ₁(u,v) и φ₂ (u,v) – функции, определенные в области Н и имеющие в ней непрерывные частные производные. Предположим, что x=φ₁(u,v) и y= φ₂(u,v) задают взаимно однозначное соответствие между точками области Н и точками некоторой области G в поскости Oxy. Тогда для любой интегрируемой в области G функции f(x,y) справедлива формула

Переход к полярным координатам: x=rcosφ, y=rsinφ, = = = r;

= -9)drdφ= - 9)dr)dφ;

dr= - 9r = -14

= -28π.

44. Дайте определение числового ряда и его суммы. Найдите, исходя из определения, сумму ряда при при

Определение. Пусть дана числовая последовательность а₁ ,а₂, а₃….a_n . Выражение вида

называют числовым рядом, или просто рядом.

Числа а₁ ,а₂, а₃,….a_n называют членами ряда, число а_п с общим номером п называют общим членом ряда.

Суммы конечного числа первых членов ряда

называют частичными суммами ряда. Так как число членов ряда бесконечно, то частичные суммы образуют числовую последовательность

45. Дайте определения числового ряда и его суммы. Исходя из определения докажите, что сумма ряда равна числу 1.

Так как = - , то для n-ной частичной суммы ряда получим выражение : Sn=(1- )+( - ). Sn= 1- .Cледовательно, =1.Итак, ряд сходится и сумма его равна 1.

46. Сформулируйте и докажите необходимое условие сходимости числового ряда. Приведите пример расходящегося ряда, для которого это условие выполнено.

Если ряд сходится ,то предел его общего члена =0. Док-во: Пусть данный ряд сходится и его сумма равна S. Для любого натурального n имеем = + , или = - . При n обе частичные суммы и стремятся к пределу S, поэтому из равенства следует,что = - =S-S=0 .

47. Докажите, что если ряд сходится , а ряд расходится, то ряд

48. Докажите, что для сходимости ряда , необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена. Док-во: Пусть ряд сходится. Тогда существует предел его частичных сумм. Из свойств пределов следует,что посл-ть частичных сумм ограничена. Достаточность: Т.к. все члены данного ряда положительны и для любого n Но известно, что ограниченная сверху монотонная последовательность имеет предел.

49. Сформулируйте и докажите признак Даламбера для числовых рядов с положительными членами.

Если для ряда с положительными членами

сущ. такое число q , то при всех n выполняется неравенство:

то ряд сходится .Если же для всех n, то ряд расходится.

Док-во: Отбросив несколько первых членов ряда, можно считать, что неравенство выполняется для всех n=1, 2… Перепишем это неравенство в виде . Отсюда имеем и т.д.Вообще для любого n справедливо неравенство . Это показывает , что члены ряда не превосходят соответсвующих членов геометр прогрессии Т.к. по условию 0 , это прогрессия сходится. В силу первого признака сравнения сходится и данный ряд. В случае,когда , то есть члены ряда образуют неубывающую последовательность, и поэтому не выполняется необходимый признак сходимости ряда , который полностью доказывает теорему.