81.Сведение кратного интеграла к повторному интегралу.

Если функция f(x,y) интегрируема в области G и при любом фиксированном х из [а,b] существует интеграл справедлива формула

82. Формула замены переменных в двойном интеграле. Использование полярных координат для вычисления двойных интегралов.

В полярных координатах :

83. Геометрические приложения двойных интегралов: вычисление площадей плоских фигур и объемов пространственных тел.

Определение. Если существует конечный предел интегральных сумм при ʎ->0 то функция f(x;y) называется интегрируемой в области D. Значение этого предела называется двойным интегра­лом по области D

Геометрический смысл двойного интеграла.

Рассмот­рим непрерывную неотрицатель­ную функцию z = f(x;y)>=0 при любом значении (x,y) принадлежащем D. Ее графиком будет поверхность в пространстве OXYZ. Тогда двойной интеграл D представляет собой объем прямого цилиндрического тела, ограниченного снизу областью D, а сверху поверхностью z= f(x;y).

Если подынтегральная функция f(x;y) тождественного равна единице в области D, то значение двойного интеграла совпадает с площадью области интегрирования:

84. Несобственные кратные интегралы. Интеграл Эйлера-Пуассона.

Пусть GсR² — неограниченное множество, f(x, у) - функция, интегрируемая по всякому подмножеству в G вида G∩D, где D - ограниченное множество с границей нулевой площади. Если для любого допустимого семейства {D_t} предел

существует и не зависит от выбора семейства {D_t}, то данный

предел обозначается G и называется несобственным двойным интегралом от f по G.

Интеграл Эйлера-Пуассона I= dx =

85. Числовые ряды.

Определение. Пусть дана числовая последовательность а₁ ,а₂, а₃….a_n . Выражение вида

называют числовым рядом, или просто рядом.

Числа а₁ ,а₂, а₃,….a_n называют членами ряда, число а_п с общим номером п называют общим членом ряда.

Суммы конечного числа первых членов ряда

называют частичными суммами ряда. Так как число членов ряда бесконечно, то частичные суммы образуют числовую последовательность

86. Последовательность частичных сумм. Сумма ряда. Сходящиеся ряды.

Пусть дана некоторая последовательность действительных чисел а_п. Тогда сумма бесконечного числа членов этой последовательности

называется числовым рядом, а число а_п (n = 1,2,...) — членом ряда. Если член ряда а_п представлен в виде функции, натурального аргумента а_п= f (п), то его называют общим членом ряда. При этом сумму S_n = а₁+ а₂ +...+ а_п первых п членов ряда называют его n-ой частичной суммой. Таким образом, мы можем образовать новую последователь­ность - последовательность частичных сумм S₁=a₁, S₂=a₁+a₂, S₃=a₁+a₂+a₃, S_n =a₁+ a₂ +...+a_n . Если эта последовательность имеет конечный предел S = lim S_n при n->infimity, то числовой ряд называется сходящимся, а число S — суммой ряда. В противном случае ряд называ­ют расходящимся.

87. Свойства сходящихся рядов.

1. Если ряд (l) сходится, то сходится и любой ряд, полученный из него отбрасыванием конечного числа членов. Ряд полученный отбрасыванием первых п членов суммы (l), называется п-м остатком ряда. Таким образом, ряд (l) и любой его остаток сходятся или расходятся одновременно.

2. Если каждый член сходящегося ряда (l), сумма которого равна S, умножить на некоторое число k, то полученный ряд

также сходится, и его сумма равна kS.

3. Если даны два сходящихся ряда

и

с суммами S и Т соответственно, то новый ряд полученный почленным сложением исходных рядов, также сходится, и его сумма равна S + T.

4. Если ряд (1) сходится, то сходится и любой ряд, полученный из него группировкой слагаемых, и суммы рядов одинаковы.