41. Достаточное условие интегрируемости.

Для того, чтобы ограниченная на отрезке [a,b] ф-цияf(x) была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε>0 нашлось такое разбиение Т сегмента, что S_T-s_T≤ε.

Фун-ция, непрерывная на отрезке, интегрируема на этом отрезке.

42. Геометрический смысл определенного интеграла.

Опр-ныйинт-л равен площади криволинейной трапеции, ограниченной вертикальными прямыми x = a, x = b, при а b, осью Ох и графиком неотриц-ной и непрерывной ф-цииy = f(x).

43. Свойства определенного интеграла.

1. Инт-л от суммы двух функций f(x) и g(x) по отрезку [a, b] равен сумме инт-лов это от этих фук-ций по этому же отрезку

2. Постоянный множитель (к) можно выносить из-под знака инт-ла.

3. Инт-л от неотрицательной фун-ции на отрезке [a,b]-неотрицат-ное число, т.е. если f(x)≥0 на [a,b], то ∫(a по b) f(x)dx=≥0

4. Интегрирование неравенств. Если на отрезке [a,b] выполняется неравенство f(x) ≤ g(x), то такое же неравенство выполняется и для интегралов:

5. Оценка определенногоинт-ла. Пусть m – наименьшее, а M – наибольшее значение непрерывной функции на отрезке [a,b], тогда выполняется двойное неравенство:

44. Формула Ньютона - Лейбница.

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и F(x)- первообразная для f(x). Тогда:

∫(a по b) f(x)dx= F(b)-F(a)

45. Формула замены переменной в определенном интеграле.

Пусть ф-ция   непрерывна на отрезке [a, b], а ф-ция  определена, непрерывно дифференцируема и монотонна на отрезке  , и имеет непрерывную производную внутри этого отрезка, причем и Ф ([a, b])= [a, b]. Тогда  .

46. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла.

 Если u(x), v(x) - непрерывно дифференцируемые функции, то  . 

47. Определение несобственного интеграла с бесконечным верхним пределом.

Пусть функция y=f(x) интегрируема на каждом конечном отрезке [a;b] (b>a). Тогда за несобственный интеграл ∫(a по +∞)f(x)dxпринимают предел функции I(b) = ∫(a по b)f(x)dx, когда b стремится к бесконечности. Тогда ∫(a по +∞)f(x)dx= lim b→∞ ∫(а по b)f(x)dx.

Если данный предел существует и конечен, то говорят, что несобств-ныйинт-л сходится.

Если же предел не существует, то несобств-ныйинт-л расходится.

48. Определение несобственного интеграла с бесконечным нижним пределом.

По аналогии с верхним вопросом можно рассмотреть несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом, а именно:

∫(-∞ по b)f(x)dx= lima→-∞ ∫(a по b)f(x)dx

49. Определение несобственного интеграла от неограниченной функции на ограниченном промежутке.

Пусть функция y = f (x) не ограничена на отрезке [a;b], однако интегрируема на любом меньшем отрезке [a;b-эпсил], где эпсил>0. Тогда если существует предел ,его принимают за несобственный интеграл от неограниченной функцииf (x):

Если предел существует несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае — расходящимся.

50.Расстояние в Rⁿ. Свойства расстояния.

51.Окрестность точки в Rn . Внутренние и граничные точки множества.

Пусть pₒ- точка в Rⁿ и ε – положительное число. Открытым шаром, или просто шаром радиуса ε с центром в pₒ называется множество всех точек, расстояние которых от pₒ меньше ε:

{p € Rⁿ │ ρ (pₒ,p)< ε}.

Шар радиуса ε с центром pₒ обозначается B(pₒ, ε) или U3(pₒ). Множество U3(pₒ) называют

ε–окрестностью точки pₒ.

Внутренние и граничные точки множества:

Пусть Х – множество в пространстве Rⁿ. Точка р называется:

-Внутренней точкой множества Х, если она содержится вместе с некоторой своей

ε–окрестностью;

-Внешней точкой по отношению к Х, если она является внутренней для дополнения Х в Rⁿ;

-Граничной точкой для Х, если она не является ни внутренней ни внешней точкой для Х, иначе говоря, если любая ее окрестность содержит как точки, принадлежащие Х, так и точки, не принадлежащие Х.