88. Необходимое условие сходимости числового ряда.

Теорема 5.1 (необходимый признак сходимости). Если ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю.

Эквивалентная формулировка: Если предел общего члена ряда не равен нулю.или не сугцествует, то данный ряд расходится.

Доказательство. Пусть данный ряд сходится и его сумма равна S. Для любого натурального п имеем S_n= S_n-₁ + а_п или

A_n=S_n-S_n-1

При п -> infinity обе частичные суммы S_n и S_n-1 стремятся к пределу S, поэтому из равенства следует, что

Подчеркнем еще раз, что мы установили только необходимое условие сходимости ряда, т.е. усдовие, при нарушении которого ряд не может сходиться. С помощью этого признака можно дока­зывать только расходимость ряда.

89. Числовые ряды с неотрицательными членами.

Числовой ряд называется рядом с положительными членами, если общий член ряда а_п >0 для любого n=1,2,.... Критерием сходимости для таких рядов служит ограниченность последовательности частичных сумм ряда.

При решении задач на сходимость рядов первым шагом является проверка выполнения необходимого условия сходимости, т.е.

90. Критерий сходимости числовых рядов с неотрицательными членами.

Теорема . Для того чтобы ряд с положительными члена­ми сходился, необходимо и достаточно, чтобы последователь­ность его частичных сумм была ограничена.

91. Признаки сравнения, признак Даламбера и Коши, интегральный признак для числовых рядов с неотрицательными членами.

Признак Даламбера (в предельной форме). Пусть для числового ряда с положительными членами существует конечный предел . Тогда при d<1 ряд сходится, а при d>1 ряд расходится.

Первый признак сравнения. Пусть члены двух числовых рядов с положительными членами и удовлетворяют условию a_n<=b_n (n=1,2,…). Тогда из сходимости «большего» ряда следует сходимость «меньшего» ряда , а из расходимости «меньшего» ряда следует расходимость «большего» ряда.

Второй признак сравнения. Пусть для двух числовых рядов с положительными членами и существует конечный предел . Тогда оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Интегральный признак сходимости. Пусть члены числового ряда a_n=f(n) являются значениями неотрицательной непрерывной функции f(x), монотонно убывающей на луче [1; + oo). Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

Признак Коши. Пусть для числового ряда с положительными членами существует конечный предел . Если к < 1, то ряд сходится, а при к > 1 ряд расходится.

92. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным. Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд, то есть такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки. Ряд а₁+а₂+…+а_n+…называется абсолютно сходящимся, если ряд |а₁|+|а₂|+…+|а_n|+…также сходится, т.е. сходится ряд, составленный из модулей его членов. Ряд а₁+а₂+…+а_n+…называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

93. Признак Лейбница для знакочередующихся числовых рядов.

Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и стремятся к нулю, когда n–>∞, то: 1) ряд сходится; 2) любой остаток ряда не превосходит по абсолютной величине первого из своих членов и имеет одинаковый с ним знак.

94. Степенные ряды.

Ряд вида а₀+а₁+а₂x²+…+а_nxⁿ+…, где а_0, а_1, а_{2, …,} а_n … - некоторая числовая последовательность, называют степенным рядом.

95. Теорема Абеля.

1) Если степенной ряд а₀+а₁+а₂x²+…+а_nxⁿ+… сходится при некотором x=x₀, не равном нулю, то он сходится, и притом абсолютно, при всех x, удовлетворяющих условию |x|<|x₀|; 2) если ряд а₀+а₁+а₂x²+…+а_nxⁿ+… расходится при некотором x=x₁, то он расходится при всех x, удовлетворяющих условию |x|>|x₁|.

96. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.

Для степенного ряда а₀+а₁+а₂x²+…+а_nxⁿ+… возможны только три случая: 1) ряд сходится в единственной точке x=0; 2) ряд сходится для всех значений x; 3) существует такое R>0, что ряд сходится для всех значений x из интервала (-R, R) и расходится для всех значений x вне отрезка [-R,R]. Интервал (-R, R) называют интервалом сходимости ряда а₀+а₁+а₂x²+…+а_nxⁿ+…, а число R – радиусом сходимости этого ряда. Если существует предел D= , отличный от нуля, то радиус сходимости степенного ряда а₀+а₁+а₂x²+…+а_nxⁿ+… равен .