Тема №2. Математическое описание линейных непрерывных сар и их элементов

Для решения задач анализа и синтеза применяются следующие математические модели:

-уравнения статики и динамики,

-передаточные функции,

-структурные схемы и направленные графы,

-статические и динамические характеристики.

§10. Составление уравнений линейных непрерывных звеньев

Для упрощения составления уравнений всей системы надо условно разделить ее на звенья направленного действия. Каждое такое звено математически описывается некоторым уравнением (алгебраическим, дифференциальным или интегральным) и передает воздействие только в одном направлении - от входа к выходу. Благодаря направленности действия присоединение такого звена к предыдущему не вызывает изменение выходной величины предыдущего звена. Поэтому уравнения звеньев, полученные при их изолированном рассмотрении, сохраняют свою силу и при включении этих звеньев в систему.

Общий порядок составления уравнений динамических звеньев

1. Составляются исходные уравнения на основании соответствующих физических законов. Число исходных линейно-независимых уравнений равно числу неизвестных величин.

2) Составленные уравнения решаются совместно относительно выходной величины, которая при этом связывается искомым уравнением с входными величинами. Промежуточные переменные исключаются, причем можно использовать как метод подстановки, так и метод определителей. Следует учесть, что совместное решение дифференциальных уравнений упрощается за счет их алгебраизации, выполняемой двумя путями:

-переходом к операторной форме, когда символ производной обозначается и рассматривается как некоторая величина р, при этом с новой переменной можно проводить все алгебраические операции за исключением перестановки, т.е. py ≠ yp;

-применением операторного метода, т.е. использованием преобразования Лапласа.

3) Полученное уравнение звена нужно привести к стандартному виду, принятому в ТАУ.

Приведение к стандартному виду предполагает:

3.1. - в левой части уравнения записывают выходную величину и ее производные по убыванию их порядков;

-в правой части в аналогичной последовательности записывают входные величины и их производные.

Обычно порядок уравнения звена не более 2, например: .

Это же уравнение в операторной форме

(a₀p²+a₁p+a₂)y=(b₀p+b₁)x₁+c₀x₂ ,

причем многочлен от р, стоящий перед выходной величиной называется собственным оператором. Аналогичные многочлены, стоящие перед входными воздействиями, называются операторами входных воздействий.

3.2. - из операторов входных воздействий выносим за скобки независящие от p слагаемые - свободные члены (в нашем примере b₁), и все уравнение почленно делим на свободный член собственного оператора (т.е. a₂),после чего получаем:

.

3.3. Вводим стандартные обозначения для коэффициентов полученного уравнения, в частности, коэффициенты, перед входными величинами (коэффициенты передачи) обозначаются буквами k с индексами:

, .

Коэффициенты передачи определяют статические свойства звена в соответствии с его уравнением статики: y=k₁x₁+k₂x₂. Уравнение статики всегда можно получить из уравнения динамики, если производные по времени (или р при операторной форме) приравнять к нулю ввиду постоянства всех величин во времени. Коэффициенты перед первыми производными, имеющие размерность времени, т.к. [p]=c^-1, называются постоянными времени и обозначаются Т с индексами:

, ,

Коэффициенты при p² (вторых производных) имеют размерность квадрата времени и обозначаются как квадраты или произведения двух постоянных

времени, например .

В результате введения таких обозначений может быть записано уравнение в стандартной операторной форме:

(T₀²p²+T₁ p+1)y = k₁(T₂ p+1)x₁ +k₂ x₂ .

Постоянные времени определяют масштаб времени динамических процессов, в частности переходных, и при изменении всех постоянных времени в одинаковое число раз, во столько же раз изменяется масштаб времени процесса без изменения его формы (это используется при аналоговом моделировании).

Уравнение стандартного вида может быть записано в дифференциальной форме: .