- •1. Задачи математического программирования называются также статическими задачами оптимизации.
- •2. Определение. Переменная величина называется функционалом от функции , если каждой функции из некоторого множества функций соответствует определенное значение .
- •4. Простейшей задачей вариационного исчисления называется задача об экстремуме функционала вида (2.1) с граничными условиями: , .
- •5. . Для того чтобы функционал
- •6. Изопериметрическими задачами, в узком смысле этого слова, называются задачи об отыскании геометрической фигуры максимальной площади при заданном периметре.
- •7. Исследуем на экстремум функционал, зависящий от функций,
- •8. 2.5. Основная формула для вариации функционала
- •12. Введем новые переменные и преобразуем основную формулу для вариации функционала (2.11):
- •15.Выражение для выражение для второй вариации принимает вид
- •18. Введение игольчатой вариации управления [1] позволило получить необходимое условие минимума функционала при ограничениях на управление.
- •19. Следующее дифференциальное уравнение для вектора – функции :
- •6. Окончательно задача оптимального управления приводится к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- •24. . Задача программирования оптимального управления
- •2. Задача синтеза оптимального управления
- •25. Рассмотрим следующую задачу синтеза оптимального управления линейной динамической системой
- •27. Доказательство принципа максимума было проведено без учета ограничений на вектор состояния. Рассмотрим теперь следующую постановку задача. Дана автономная динамическая система
- •29. Запишем уравнение Беллмана (4.4)
- •30. Рассмотрим решение задачи минимизации, когда функционал содержит только терминальный член: , .
- •31. Рассмотрим следующую задачу синтеза оптимального управления линейной динамической системой
- •32. Рассмотрим задачу оптимального управления дискретной динамической системой
- •33. Рассмотрим линейную дискретную систему
- •34. При решении задачи синтеза оптимального управления нелинейной динамической системой
- •39. Пусть имеется функция , определенная на множестве . Требуется найти
- •40. Пусть задана динамическая система
12. Введем новые переменные и преобразуем основную формулу для вариации функционала (2.11):
, (2.21)
. (2.22)
Тогда
. (2.23)
Система уравнений Эйлера
(2.24)
заменяется системой уравнений первого порядка канонического вида:
, . (2.25)
Функция называется функцией Гамильтона, а переменные - сопряженными переменными. Дифференциальные уравнения для сопряженных переменных (2.25) называются сопряженной системой уравнений.
Если функция не зависит явно от , то функция является первым интегралом уравнений Эйлера. Действительно,
. (2.26)
Используя каноническую форму уравнений Эйлера, получим при
, (2.27)
откуда следует, что .
Рассмотрим некоторую функцию .
. (2.28)
Выражение называется скобкой Пуассона. Таким образом, чтобы функция , не зависящая явно от , была первым интегралом уравнений Эйлера ( ), необходимо и достаточно, чтобы .
13. Рассмотрим центральное поле экстремалей с центром в точке для функционала
, .
На экстремалях поля функционал превращается в функцию координат второй граничной точки . Воспользуемся выражением для вариации функционала (2.11)
. (2.29)
С другой стороны .
Для точки : , , тогда
, . (2.30)
Следовательно,
. (2.31)
Это уравнение (2.32) называется уравнением Гамильтона-Якоби.
В этом случае решение канонической системы равносильно решению дифференциального уравнения в частных производных относительно неизвестной функции
(2.32)
с граничным условием .
14. Для нахождения необходимого условия слабого минимума функционала введем понятие второй вариации функционала. Функционал имеет вторую вариацию, если его приращение можно представить в виде
, (2.33)
где - линейный относительно вариации функции функционал (первая вариация функционала); - квадратичный относительно функционал вторая вариация функционала; - содержит члены высших порядков малости ( при ), Пусть .
Теорема 2.5. Для того чтобы функционал достигал своего минимума на кривой , необходимо чтобы выполнялись условия
, . (2.34)
Доказательство. Пусть имеется кривая , которая неограниченно приближается к экстремали . Это означает, что , т.е. кривые сближаются. Тогда , , следовательно, знак определяется знаком . Это означает, что неотрицательность второй вариации обеспечивает слабый минимум функционала.
Получим формулу для второй вариации функционала в задаче с закрепленными концами. Зададим функционал
с граничными условиями . В этом случае первая и вторая вариации функционала определяются формулами
,
. (2.35)
Интегрируя по частям среднее слагаемое в подынтегральном выражении формулы (2.35), получим
.
Тогда, с учетом , , получим
. (2.36)
Получим условие, при котором . Введем произвольную непрерывную и дифференцируемую функцию такую, что, будучи введенной в интегральное выражение (2.36), она с точностью до множителя преобразует его в точный квадрат. Показано [2], что если дифференциальное уравнение
(2.37)
имеет на отрезке дифференцируемое решение , то