- •1. Задачи математического программирования называются также статическими задачами оптимизации.
- •2. Определение. Переменная величина называется функционалом от функции , если каждой функции из некоторого множества функций соответствует определенное значение .
- •4. Простейшей задачей вариационного исчисления называется задача об экстремуме функционала вида (2.1) с граничными условиями: , .
- •5. . Для того чтобы функционал
- •6. Изопериметрическими задачами, в узком смысле этого слова, называются задачи об отыскании геометрической фигуры максимальной площади при заданном периметре.
- •7. Исследуем на экстремум функционал, зависящий от функций,
- •8. 2.5. Основная формула для вариации функционала
- •12. Введем новые переменные и преобразуем основную формулу для вариации функционала (2.11):
- •15.Выражение для выражение для второй вариации принимает вид
- •18. Введение игольчатой вариации управления [1] позволило получить необходимое условие минимума функционала при ограничениях на управление.
- •19. Следующее дифференциальное уравнение для вектора – функции :
- •6. Окончательно задача оптимального управления приводится к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- •24. . Задача программирования оптимального управления
- •2. Задача синтеза оптимального управления
- •25. Рассмотрим следующую задачу синтеза оптимального управления линейной динамической системой
- •27. Доказательство принципа максимума было проведено без учета ограничений на вектор состояния. Рассмотрим теперь следующую постановку задача. Дана автономная динамическая система
- •29. Запишем уравнение Беллмана (4.4)
- •30. Рассмотрим решение задачи минимизации, когда функционал содержит только терминальный член: , .
- •31. Рассмотрим следующую задачу синтеза оптимального управления линейной динамической системой
- •32. Рассмотрим задачу оптимального управления дискретной динамической системой
- •33. Рассмотрим линейную дискретную систему
- •34. При решении задачи синтеза оптимального управления нелинейной динамической системой
- •39. Пусть имеется функция , определенная на множестве . Требуется найти
- •40. Пусть задана динамическая система
4. Простейшей задачей вариационного исчисления называется задача об экстремуме функционала вида (2.1) с граничными условиями: , .
Лемма. Если для каждой непрерывной функции выполняется условие обращения в нуль интеграла
,
где функция непрерывна на отрезке , то на том же отрезке.
Доказательство. Предположив, что в точке , лежащей на отрезке , , придем к противоречию. Действительно, из непрерывности функции следует, что если , то сохраняет знак в некоторой окрестности точки ; выбрав функцию также сохраняющую знак в этой окрестности и равную нулю вне этой окрестности, получим
,
так как произведение сохраняет знак на интервале и обращается в нуль вне этого отрезка. Итак, мы пришли к противоречию, следовательно, .
5. . Для того чтобы функционал
,
определенный на множестве непрерывных функций , имеющих непрерывную первую производную и удовлетворяющих граничным условиям , , достигал на экстремума, необходимо, чтобы функция удовлетворяла уравнению Эйлера
, (2.5)
или в развернутом виде
. (2.6)
Доказательство. Получим формулу для первой вариации функционала. Применяя операцию варьирования подынтегрального выражения при условии, что , получим
. (2.7)
Проинтегрируем второе слагаемое по частям и, принимая во внимание, что , получим
. (2.8)
Но поскольку концы экстремали закреплены, то , , и получаем необходимое условие экстремума в виде
. (2.9)
В силу основной леммы вариационного исчисления, поскольку , для любого , получаем результат (2.5).
Интегральные кривые уравнения Эйлера называются экстремалями. Только на них достигается экстремум рассматриваемого функционала. Чтобы установить, реализуется ли на них в действительности экстремум, и притом максимум или минимум, надо воспользоваться достаточными условиями экстремума.
Краевая задача для уравнения (2.6) с граничными условиями , не всегда имеет решение, а если решение существует, то оно может быть не единственным.
Получим необходимые условия экстремума функционала , зависящего от независимых функций :
при заданных граничных условиях всех функций
, ,..., ,
, ,..., .
Если варьировать одну из функций , оставляя остальные неизменными, то рассматриваемый функционал превращается в функционал, зависящий лишь от одной функции, которая, следовательно, должна удовлетворять уравнению Эйлера
.
Так как это рассуждение применимо к любой функции , то мы получим систему дифференциальных уравнений второго порядка
, (2.10)
определяющих -параметрическое семейство интегральных кривых (экстремалей).
6. Изопериметрическими задачами, в узком смысле этого слова, называются задачи об отыскании геометрической фигуры максимальной площади при заданном периметре.
В настоящее время изопериметрическими задачами называется значительно более широкий класс задач, а именно, все вариационные задачи, в которых требуется определить экстремум функционала
,
при наличии так называемых изопериметрических условий
,
где - постоянные , а может быть меньше или равно .
Рассмотрим следующую изопериметрическую задачу.
Среди всех кривых , удовлетворяющих условиям , , на которых функционал
,
найти такую, которая дает экстремум функционалу
.
Пусть и имеют непрерывные производные на отрезке . Если искомая кривая не является экстремалью функционала , тогда имеет место теорема [1].
Теорема 2.3. Если кривая обеспечивает экстремум функционала и удовлетворяет условиям , , , но не является экстремалью функционала , то существует такое число , что является экстремалью функционала
. (2.15)
Этот результат используется следующим образом. Составляется уравнение Эйлера для функционала . Получается дифференциальное уравнение второго порядка и находится его общее решение , которое содержит параметр и две произвольные постоянные. Эти три величины определяются из граничных условий и условия .