Показатели вариации и методы их вычисления

Средняя величина не дает представления о том, как отдельные значения изучаемого признака группируются вокруг средней. В некоторых случаях отдельные значения признака близко примыкают к средней арифметической и мало от нее отличаются. В таких случаях средняя хорошо представляет всю совокупность. В других случаях, наоборот, отдельные значения совокупности далеко отстают от средней, и средняя плохо представляет всю совокупность. Колеблемость (колебание, рассеивание) отдельных значений характеризуют показатели вариации. Термин «вариация» произошел от латинского variatio –изменение, колебание, различие.

Для характеристики колеблемости признака используются: размах, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент осцилляции, коэффициент вариации.

1. Размах вариации (амплитуда) – это разность между наибольшим и наименьшим значениями вариантов: .

2. Средний квадрат отклонений – дисперсия (от лат. dispersio – рассеяние, разброс) – мера рассеивания от среднего. Дисперсия – это среднее арифметическое из квадратов отклонений величин от их среднего арифметического

Формула для вычисления дисперсии простой:

Формула для вычисления дисперсии взвешенной:

Существенным недостатком дисперсии является то, что она измеряется в квадратных единицах изучаемого признака, что практически всегда не имеет смысла.

3. Среднее квадратическое отклонение – корень квадратный из дисперсии Выражается оно в тех же единицах измерения, что и признак. Чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем лучше средняя арифметическая отражает собой всю представляемую совокупность.

4. Коэффициент осцилляции отражает относительный разброс крайних значений признака вокруг средней. Формула для вычисления коэффициента осцилляции:

5. Коэффициент вариации используется для оценки типичности средних величин. Формула для вычисления коэффициента вариации:

Если то говорит о сильных отклонениях изучаемой совокупности от своего среднего значения, то есть колеблемость большая.

Пример. По данным УМВД распределение осужденных в области за изучаемый период по возрастным группам было следующим (табл. 11). Определите: 1) дисперсию и среднее квадратическое отклонение; 2) коэффициент вариации.

Таблица 11

Возраст, лет	До 20	20–25	25–30	30–35	35–40	40–45	45–50	50 и старше
Число осужденных	101	138	115	72	36	23	12	3

Решение. Учитывая, что уголовная ответственность по большинству преступлений в России наступает с 16 лет, а средняя продолжительность жизни по данным за 2011 год – 68 лет, дополним таблицу серединами интервалов возрастных групп.

Возраст, лет	16–20	20–25	25–30	30–35	35–40	40–45	45–50	50–68
Центр интервалов, лет	18	22,5	27,5	32,5	37,5	42,5	47,5	59
Число осужденных	101	138	115	72	36	23	12	3

По формуле среднего арифметического взвешенного имеем:

По формуле дисперсии взвешенной имеем:

Вычислим среднее квадратическое отклонение:

Вычислим коэффициент вариации:

Значения изучаемого признака достаточно плотно группируются около своего среднего.