27. Теоремы о возрас/убывании (монотонность) на нек-ом интервале.

Функция f (x) называется возрастающей в точке х₀, в окрестности которой она определена, если для как угодно малого положительного h имеет место условие f (x₀ − h) < f (x₀) < f (x₀ + h). Функция f (x) называется убывающей в точке х₀, в окрестности которой она определена, если для как угодно малого положительного h имеет место f (x₀ − h) > f (x₀) > f (x₀ + h). Функция является возрастающей (убывающей) на интервале (а,b), если она является возрастающей (убывающей) в каждой его точке.

Т₁. Для того чтобы функция f (x), дифференцируемая в точке х₀ Î (а, b), возрастала (убывала) в точке х₀ , достаточно, чтобы f ' (x₀) > 0 (f ' (x₀)<0).

Т₂. Для того чтобы функция f (x), дифференцируемая в точке х₀ Î (а,b), возрастала (убывала) в точке x₀, необходимо, чтобы её производная в точке х₀ была неотрицательной f ' (x₀) ≥ 0 (неположительной f ' (x₀)≤0).

Опр-е. Функция f (x) называется строго возрастающей (убывающей) на отрезке [а, b], если для любых значений аргументов из этого отрезка большему значению аргумента соответствует строго большее (меньшее) значение функции.    Как следствие теоремы Лагранжа можно сформулировать теорему.

Т₃. Если функция f (x) определена на отрезке [а, b], дифференцируема в точках х Î (а, b) и f ' (x) > 0, ( f ' (x) < 0), то функция f (x) возрастает (убывает) на отрезке [а, b ].

26. Правило Лопиталя. Теорема. Примеры. (без доказательства).

Пусть две ф-ии f(x) и g(x) на отр. [a,b] удовл. условию теоремы Коши и обращ-ся в 0, тогда если сущ-ет предел:

То сущ-ет и предел отношения дан.ф-ий при х→ а, причем:

Т. Пусть ф-ии f(x) и g(x) непрер. И дифф-мы во всех точках отр. [a,b], кроме х=а, и в т. b окрестности этой тчоки, причем g(a)≠0 и произв. g′(x)≠0. Пусть lim f(x)=∞, lim g(x)=∞,тогда если сущ-ет предел отнош-я производных ф-ий ,то сущ-ет отношения ф-ий

Пр-ры.

25. Некоторые теоремы о диффер.Функциях. Теорема Ролля, Лаграмжа, Коши и их геометрические иллюстрации.

Т1.(т.Ролля о корнях производных). Пусть ф-ия y=f(x)-непрерывна на отр. [a,b] и дифф-ма во всех точках этого отрезка, тогда на отр. [a,b] найдется хотя бы одна т.С такая, что производная в этой точке обращ-ся в 0, при условии что знач-я ф-ии на концах промежутка обращ-ся в 0.

Геом.толкование: если непрер-ая кривая

имеется в кажд.точке, касат-ую пересекает

ось ОХ в точках х=а, х= b, то найдется т.С,

принадлеж-ая промеж.ку касат.,кот || OX.

Т2.(т.Логранжа о конечных приращениях ф-ии). Пусть ф-ия у=f(x) непрер-на на отр. . [a,b] и дифф-ма во всех внутр. Точках этого отр., тогда на отр. . [a,b] найдется т.С, принадлежащая отр. . [a,b], такая что выполнялось бы рав-во:

Если во всех точках дуги АВ сущ-ет

касат-ая, то в т.С касат-ая || секущей АВ.

Т3.(т.Коши об отнош-ии конечных приращениях двух ф-ий). Пусть ф-ии f(x) и g(x) непрер. на отр. . [a,b] и дифф-мы на инт.(a,b) во всех внутр.точках дан.отрезка, причем g(x) ≠0 на отр. [a,b], тогда на отр. . [a,b] найдется т.С, что выполн.рав-во:

24. Разложение функции по формуле Маклорена y=sinx (cosx, е^x, ln(1+x) ).