39.Интегрирование тригонометр. Ф-ий.

Универсальная замена:

Замечание: 1) один и тот же аргумент. 2) кажд. слагаемое зависит от cos или sinили от их произвед-я. 3) кажд.слагаемое имеем одну и ту же степень т.к. ф-ия однородная.

38. Интегрир-е иррациональных ф-ий. Дифф-й бином.

1. I.Рассм.интег-л типа, когда подинтегралная ф-ия представлена в виде степени с основанием х. ∫R(x,xα,xβ,…)dx, где

Данный интег-л сводится к интег-лу от рац-ой ф-ии с помощью подстановки х=t^k, где k=НОК(n₁,n₂,…)

II. ∫R(x,(ax+b)^α, (cx+d)^β, ….)dx применяется подстановка ax+b=t^k

Или

III. К интег-лу, рац-но зависящих от тригонометр-х ф-ий сводится к интег-лу:

2.a+bxⁿ; ∫x^m(a+bxⁿ)^pdx. Данный инт-л сводится к рац-ой ф-ии в 3=х случаях: 1) когда Р целое число (a+b)ⁿ=бином Н.Лейбница, форм.сокращ.умнож-я. 2) m+1/n целое число. Прим-ся замена a+bxⁿ=t^r, где r-знам-ль дроби Р, Р=s/r. 3) ) m+1/n + p целое число, a+bxⁿ=t^r*хⁿ.

37.Интегрир-е рациональных дробей.

1. рац-ой дробью наз-ся дробь, числитель и знам-ль кот-й есть многочлен.

Если степень числителя > степени знам-ля (n≥m), то дробь неправильная, если n≤m, то дробь правильная.

2. простейшие прав. рациональные дроби, это дроби вида:

Т.Любую прав.рац-ую дробь можно представить в виде суммы простейших дробей,а именно: I.Если знам-ль Q(x) прав. рац. дроби содержит различные действит. корни, тогда данный знам-ль можно записать: Q(x)=(х-α₁)*(х-α₂)*…*(х-α_m), тогда

II.если среди корней есть корни кратные(равные), тогда

Q(x)=(х-α₁)*(х-α₂)*…*(х-α_m), х₂=х₃=х₄=α₂, корень α₂-это корень кратности три, тогда правильная рац. дробь имеет вид:

Если корни кратные, то разложение на простейшие множ-ли происходит с учетом кратности корней.

III. Среди корней есть корни комплексные.

Q(x) =(х-α₁)*(ах²+bx+с)*(mx²+px+u)

IV.Среди комплексных корней есть корни кратные, т.е.

Q(x)=(ах²+bx+с)²*(mx²+px+u) *(х-β)

Задача состоит в нахождении коэф-та, кот-й стоит в числителе A_i , B_i , C_i , M_i , N_i .

3.Разложение на простейшие дроби представляют собой тождества( рав-ва при любом Х), поэтому приводя правую часть к общему знам-лю мы получим две дроби, у кот-х знам-ли равны, отсюда приравниваем числители и получаем рав-во 2-х многочленов. Два многочлена равны <=>, когда равны коэф-ты при равных степенях. Из данного ур-я получаем СЛУ, кот. решают по правилу Крамера, методу Гаусса, обратной матрицей и методом догадайся. Данный метод наз-ся метод неопред-х коэф-ов.

36. Интегрир-е рац-ых дробей, содержащих квадратный трехчлен(3 случая).

35.Замена переменной в неопред-ом интеграле.Формула интегрир-я по частям.

1.Т. пусть ф-ия х=φ(t) определена и дифференцируема на промежутке Т, а ф-ия f(x) имеет первообразную на множ-ве Х значений ф-ии φ(t), тогда выполняется рав-во: ∫ f(x)dx=∫ f(φ(t))* φ′(t) dt

2. ∫ udv=uv - ∫ vdu – ф-ла инт. по частям. Док-во: (uv)′=u′v+uv′, uv′=(uv)′ - u′v; ∫uv′dx; ∫ udv=uv - ∫ vdu. Ч.т.д.

Применяется, если: 1)логарифмическая ф-ия с любым основанием. 2)обратно тригонометр.ф-ия. 3) если ф-ия f(x)=e^kx*sinx(любая тригоном. ф-ия). 4)f(x)=e^kx*Pn(x) (многочлен).5)f(x)=sinkx*Pn(x).