42. Применение отпред-го интег-ла к вычислению различных величин.

1.Вычисление площадей в прямоугольных координатах, если кривая у= f(x) задана в явном виде.

А) Пусть у= f(x) – не отрицательна на промежутке [а, b], то площадь кривол. Трапеции опред-ся:

Б) f(x) – отрицательна [а, b].

В)Если ф-ия f(x) – конечное число раз меняет знак на отр. [а, b] будет составлять:

Г)Если площадь ограничена кривыми у=f₁(x) и у=f₂(x), х=а и х= b, то при f₁(x)≥ f₂(x), то площадь кривол. трап.:

Пусть площадь нек-ой области ограничена прямой, заданной в параметрич-ом виде х= φ(t); y=ᴪ(t); α≤ t ≤β; a= φ (α) b= φ(β)

a≤x≤b.

2.Длиной l – наз-ют тот предел, к кот-му стремится длина впис.ломанной, когда длина его наиб.звена (∆S_i)→0,т.е.

Длина дуги кривой в ДСК:

Пусть кривая задана в парам-ом виде. х= φ(t); y=ᴪ(t); α≤ t ≤β;

φ(t), φ′(t)-непрер-ые ф-ии, φ′(t)≠0,тогда

Формула:

Пусть кривая задана в поляр.СК ϸ=ϸ(φ); x=ϸcosφ, y=ϸsinφ

3.Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси ОХ криволин. трап., ограниченной кривой у= f(x), х=а, х=b,у=0. Произвольное сечение тела, плоскость перпендик. оси ОХ. Sкр.=Пr²= Пy²= П(f(x))², тогда объем дан. тела будет равен:

Аналогично вращаем трапецию вокруг оси ОУ, получим:

41.Вычисление определ.Интеграла.

1. пусть в интег-ле нижний предел а-зафиксирован, а верхний предел b-меняется. Дан.интег-л есть ф-ия верхнего предела. Обозначим ф-ию f(x) как f(t), b как х, тогда опред-й интег-л будет иметь вид:

Т1. Есди ф-ия f(x) – непрер-ая ф-ия, а ф-ия

Производная от опред-го интег-ла с переменным верхним пределом равна подинтегральной ф-ии, в кот-й вместо переменной подставлено значение верхнего предела интергрир.

Т2. Если F(x)-какая либо первообразная для ф-ии f(x), то справедлива формула:

Док-во: пусть ф-ия F(x) – есть непрер-ая ф-ия и это первообразная для ф-ии f(x). По Т1 опред. интег-л

Т.к. любые две первообразные отличаются от дан. ф-ии только на const, след-но х=а

Получаем что дан.интег-л:

Возьмем второй: х=b,

Или заменив t→x,

2.Пусть дан интеграл , где ф-ия Ф(х)-непрер на [а,b]. Введем новую переменную по формуле х= φ(t); если:

1) φ(α)=а, φ(β)= b; 2) φ(t), φ′(t)-непрер. на [α,β]; 3) f(φ(t))-непрер. и диффер-ма на [α,β], то

Док-во: Пусть F(x)-первообразная f(x), тогда по опред-ю неопред. инт-ла:

Вместо х подставим φ(t): х= φt,

Чтобы док-ть справедливость рав-ва (4) найдем правые и левые части рав-ва(4). (∫f(φ(t)*φ′(t)*dt)′=(F(φ(t))′; f(φ(t))* φ′(t)=F′( φ(t))* φ′(t); f(φ(t))= F′( φ(t)); f(x)=F′(x)- верное рав-во по опр-ю первообр. Из рав-ва (2) имеем:

3. ∫ udv=uv - ∫ vdu – ф-ла инт. по частям. Применяется, если: 1)логарифмическая ф-ия с любым основанием. 2)обратно тригонометр.ф-ия. 3) если ф-ия f(x)=e^kx*sinx(любая тригоном. ф-ия). 4)f(x)=e^kx*Pn(x) (многочлен).5)f(x)=sinkx*Pn(x).

40.Понятие опред.Инт-ла, геометрич.Смысл и его св-ва.

1.Если при любых разбиениях отрезка [а,b] таких, что max ∆x_i→0 и при любом выборе точки ᶓ_i на каждом из этих отрезков интегральная сумма стремится к одному и тому же пределу S, то этот предел наз-ют определенным интег-ом от ф-ии f(x) на отр. [а,b] и обозначают:

Замеч.1)опред.интег-л зависит только от вида ф-ии f(x) и от пределов интегрир-я а и b, но не зависит от переменной интегрир-я, кот-й можно обозначить любой буквой. 2)При введении опред.интегр.обозначали а<b, если b<а, то дан. интеграл:

3) если а= b,то

Опр-е. Если для ф-ии f(x)сущ-ет предел (7), то ф-ию наз-ют интегрируемой на отрезке [а,b].

2.Рассм.: у=f(x) на [а,b]. Если рассм. интегр. на [а,b], то он численно равен площали криволинейной трапеции, ограниченной ф-ии у=f(x) прямыми х=а и х=b и осью ОХ; у=0.

Т. Если ф-ия у=f(x) непрерывна на отр. [а,b],то она интегрируема на этом отрезке.

3.св-ва: 1) пост. множ-ль можно выносить за знак опред.интеграла.

2)интег-л от алгебраической суммы нес=х слагаемых равен сумме интегралов этих слагаемых.

3)Если на нек-ом отр. [а,b] (а< b) две ф-ииудовлетворяют условию

Док-во: рассм.разность 2-х интег-ов:

Кажд.разность:

Что означает выполнение нер-ва:

4.Если значения m и M соответсвенно наим. и наиб. знач-я ф-ии f(x) на отр. [а,b], то опред-й интег-л от дан ф-ии удовлетворяет нер-ву:

5.Если ф-ия непрер-на на отр. [а,b], то на этом отр.найдется такая т.С, что справедливо это рав-во:

6.Для любых 3-х чисел справедливо рав-во:

Док-во: т.к. а<с< b, то составим интегральную сумму на отр. [а,b] ф-ии f(x). Т.к. предел интегральных сумм не зависит от способа разбиения отр. [а,b] на части, то разбивают отр. [а,b] на малые части, так чтобы т.С была точкой деления.Разобьем суммы отр. [а,b] на две суммы: на отр. [а,с] и [с,b].

Переходя к пределам в данном рав-ве с учетом, что max ∆x_i→0 мы получим: