51.Степ. Ряды. Область сход-ти, интервал сход-ти, радиус сход-ти степ. Ряда.

Ряд вида

Члены кот-го явл-ся ф-ями от переем. Х наз-ют функциональным рядом. Простейшим из них явл-ся степ. Ряд, каждый член кот-го явл-ся степ. Ф-ия, т.е. ряд вида:

Каждый член ряда-степ-ая ф-ия коэф-ты а_i – некоторые числа.

Областью сход-ти любого степ. Ряда явл-ся один интервал числовой оси симметричный относит-но начала координат т.О (0;0).

Теорема Абеля.

Если степенной ряд (1) сход-ся при нек-ом значении х=х₀≠0.

Если ряд (1) расх-ся при нек-ом значении х₀≠0, то он расх-ся при любом значении |х|› х_0.

Областью сход-ти степ. ряда наз-ся такой интервал (-R,+R), что для всякой т.Х, лежащей внутри этого интервала ряд сход-ся, а для т.Х, лежащей вне интервала – ряд расх-ся. Действительное число R-радиус сход-ти степ. Ряда.

Для опред-я области сход-ти степ-го ряда использ-ся признак Даламбера.

50.Ряды Тейлора и Маклорена.

Рядом Тейлора наз-ся степ. ряд относит-но двучлена (х-а) рассматриваемой в окрестности точки х=а, а именно ф-ия

При а=0 ряд Тейлора наз-ют рядом Маклорена и он имеет вид:

Ряд Маклорена – это разложенный по степеням переменной Х. Данные ряда явл-ся или будут сход-ся, если предел остаточного члена R_n=0: lim R_n=0

Разложение в ряд Маклорена ф-ий:

e^x≈

sinx≈

cosx≈

ln(1+x)≈

49.Признаки сход-ти знакочеред. Ряда, знакоперем. Ряда. Абсолютная и условная сход-ть знакоперем.Ряда.

Т.Лейбница: если в знакочеред. ряде знаки черед-ся, а каждый член рассм-ся как положит., члены этого ряда не возрастающие u₁>u₂>u₃>….>u_n>… lim R_n=0, то ряд сх-ся.

Знакоперем. ряд, если среди членов ряда есть как положит, так и отрицат. члены. Знакочеред. ряд это частный случай знакоперем.ряда.

Т. Если знакоперем. ряд составлен из абсолютных величин его членов:

(2) – сход-ся, то знакоперем. ряд (1) сход-ся.

Знакоперем. Ряд (1) наз-ют абсолютно сход-ся, если сход-ся ряд составленный из абсолютных величин его членов, т.е. ряд (2). Если знакоперем ряд (1) сход-ся, а ряд (2) расх-ся, то ряд (1) наз-ют условно сход-ся рядом.

48.Достаточный признак сход-ти ряда с положит. Членами.

Дан ряд с положит членами u₁+u₂+u₃+….+u_n+…(1).

Если предел отноше-я n-ного члена ряда к предыдущему при n→∞ есть const, то ряд сход-ся, если const ‹ 1 и расх-ся если const › 1, т.е.

Замечания: 1. Если преднл дан. Отнош-я есть величина б.б. то ряд расх-ся.

2. а) если предел дпн.отнош-я =1, расх-ся.

б) если предел дпн.отнош-я ›1, расх-ся.

47.Числовые ряды.Опред-е сход-ти/расх-ти ряда. Необходимый признак сход-ти ряда.

Выражение вида u₁+u₂+u₃+….+u_n+…= ∑U_n (1)-числовой ряд.Числа u₁+u₂+...+u_n+…-члены ряда (1).

Сумма конечного числа n-первых членов ряда

наз-ют n-ной частичной суммой ряда (1).

Если сущ-ет предел n-первых членов ряда, то дан.ряд наз-ют сход-ся. Если предел частичной суммы не сущ-ет, то дан. ряд – расх-ся.

Если сходящ-ся ряд, получившийся из ряда (1) отбрасыванием неск-их его членов-сход-ся, то сход-ся и сам дан.ряд, т.е. на несходимость ряда не влияет отбрасывание конкретного числа члена.

Если ряд сход-ся а₁+а₂+...+а_n+…(1), его сумма limS_n=S,то ряд са₁+са₂+...+са_n+…(2) сход-ся и сумма дан. Ряда limS_n=S*С

Если даны два сходящ-ся ряда обознач-х ч/з а₁+а₂+...+а_n+…(1) и b₁+b₂+...+b_n+…(2),то ряды (a₁+b₁)+(a₂+b₂)+…+(a_n+b_n)+…(3) представлены в виде суммы или разности этих рядов

(a₁-b₁)+(a₂-b₂)+…+(a_n-b_n)+…(4) сходятся и их суммы равны.

Необходимый признак сход-ти ряда.

Если n-ный член ряда →0 при n→∞,то дан ряд сход-ся. lim а_n =0, то ряд (1) сход-ся. Из того что

n-ный член ряда →0 не след-ет что ряд сход-ся, ряд может и расх-ся. Таким случаем наз-ся гармонический ряд.