46.Частные производные высших порядков. Дифференциал ф-ии нес-их переменных 1-го и 2-го порядка.

1. Т.к. ф-ия z=f(x,y) имеет непрерывные частные производные , кот-е есть также ф-ии 2-х независимых переменных Х и У, то найдем частные производные 2-го порядка, т.е.

Z′′_ху и Z′′_ух наз-ся смешанными производными 2-го порядка.

Смешанные частные производные 2-го порядка равны м/у собой ,имеет частные производные, а также

явл-ся непрер-ми ф-иями.

2. Если ф-ия z=f(x,y) имеет частные производные в дан.точке, то она дифференцируема в этой точке и имеет полный дифф-л.

Рассм. ф-ию z=f(u,v) (1), где u и v – промежут-ые арг-ты, явл-иеся ф-ми 2-х независ. перем. (x,y)

u= u(x,y), v=(x,y) (2). z=f(u(x,y),v(x,y))-слож.ф-ия 2-х переем.

Частные произв.слож.ф-ий по переем x и y

Т.к. дан.ф-ия ð зависит от v, то

45.Дифферециал сложной ф-ии. Полная производная ф-ий нескольких переменных.

Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

Пусть y = f(x), x = g(t), т.е. у – сложная функция.

Тогда dy = f ′(x)g′(t)dt = f ′(x)dx.

Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией какой-то другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала.

2.Если слож.ф-ия z – есть ф-ия одной переменной, но записана в виде формулы слож. Ф-ии, а именно Z=F(x,y,u),где у=у(х), u= u(х), тогда полная производная имеет вид:

По опред-ю дифф-ла :

44.Ф-ии многих переменных. Предел ф-ии многих переменных. 3 пр-ра частной производной ф-ии. Ф-ии неск-х переменных.

1.Переменная Z наз-ся ф-ей 2-х независимых переменных Х и У, определенных в нек-ой области Д, если каждой паре чисел Х и У соответствует единственное значение Z.

Z= Z(х,у) илил Z= f(x,y).

Точки, лежащие на границе области, кот-е описываются нек-ой прямой, ур-е кот-й у= f(x) наз-ся областью определений. Обл. опре-ия наз-ся открытой, если точки границ не принадлежат данной области. Область Д наз-ся замкнутой, если точки границ принадлежат дан.области.

2.Пусть дана т.М₀(х₀,у₀) в нек-ой области Д и задана ф-ия z=Z при стремлении М(х,у) к М₀(х₀,у₀), Ԑ›0, r›0. Если для любого сколь угодно малого наперед заданного можно найти положительное число r что для всех точек М(х,у) из области опред-ия Д, для кот-х выполняется нер-во |М₀М| ‹ r. | f(x,y) – А| ‹ Ԑ. При этом пишут: lim f (x,y)=Aи говорят: f(x,y)→А ; т.М(х,у) → т.М₀(х₀,у₀).

3. Если каждой паре (x,y) значений двух независимых переменных из области W ставится определенное значение z, то говорят, что z есть функция двух переменных (x,y). Z= f(x,y). Полное приращение функции D_z=f(x+Dx, y+Dy)-f(x,y); Частное приращение функции D_x z=f(x+Dx)-f(x,y); D_y z=f(x,y+Dy)-f(x,y). Полное приращение функции не равно сумме частных приращений.

43. Несобственный интеграл 1-ого и 2-ого типа. Опред-е и пр-р.

1. если существует вторичный предел данного интеграла при b→∞, то наз-ся несобственным интегралом от ф-ии f(x) на промжутке [а;+∞) и обознач-ся:

Несобств. интеграл сход-ся, если предел есть конечное число, если интеграл от «а» до «b» не имеет конечного предела, то несобств. интег-л не сущ-ет или расходится.

Пр-р.

2. пусть ф-ия у= f(x) определена и непрер-ны а ≤ х ‹ с ф-ия f(с) непредельна и разрывная. Интеграл от дан. ф-ии разрывной, тогда интеграл от дан ф-ии опре-ся:

Если предел, стоящий справа сущ-ет, то интеграл наз-ют несобственным сход-ся инт-ом, а противном случае – расх-ся.

Если ф-ия f(а) терпит разрыв при х=а, то интеграл запис-ся:

, если ф-ия f(d) разрывна в т. х= d, причем а≤ d≤ b, рто инт-ал:

Пр-р.