57.Линейные неоднородные ур-я высших порядков с пост. Коэф.

Линейным неоднор. Д.У. наз-ся Ур-е 1-ой степени относительно ф-ии и ее производных:

Неоднородное Д.У., т.е. в правой части содержится ф-ия g(x)≠0. общий инт-ал линейного неод. Д.У. равен сумме общего реш-я и однородного Д.У., соответствующего ур-ю (1) и какого-либо частного решения у₁ неод. Д,У,, т.е. у_общ.=u+ у₁.

Случаи для ф-ий g(x): 1. g(x)= е^mx * Pn(x); 2. g(x)=e^ax * (A₁cosbx+A₂sinbx) 3. g(x)= 1) + 2). В этих случаях частное реш-е у₁ – есть ф-ия подобная ф-ии g(x), т.е. отличающаяся только числовыми коэф-ми. НО! Если число m (1случ.) и числа а+b_i (2случ.) явл-ся корнями хар-ого ур-я кратности k, то у₁ отличается от ф-ии g(x) на множ-ли х^k .

56. Линейные однородные ур-я высших порядков с пост. Коэф.

Линейным однор. Д.У. наз-ся ур-е:

все члены кот-го 1-ой степени относительно ф-ии у и ее производной. Коэф. р₁, р₂, …. , р_n – известные ф-ии от аргумента Х или постоянные.

Общий инт-л линейного однор. Д.У. n-ного порядка:

у_общ.= C₁y₁+C₂y₂+...+C_ny_n, где y_1, y_2……. y_n - частные ЛНЗ инт-лы дан. ур-я. Если все коэф. р_i линейного однор. Д.У. (1) – const, то общий инт-л нах-ся с помощью характеристического Ур-я, в кот-м соответствующие производные и ф-ия заменяются на r. Т.е. получаем степенное ур-е:

Возможны случаи: 1. если все корни хар-ого ур-я (2) r_1, r _2…. r _n - действительны и различны, то общий инт-л Д.У. (1) имеет вид:

2.если хар-ое ур-е (2) имеет пару однократных комплексных сопряженных корней r_1,2 = £±iß, то в форм.(3) соответствующая пара членов заменяется слагаемыми: r_1,2 = £±iß ; e^£x * (C₁cosßx+C₂sinßx).

3.если действительные корни имеют кратность k, т.е. какой- то корень существует и повторяется неск-ко раз r₁ = r₂ =…= r_k = k, то соответствующие корни в форм.(3) заменяются слагаемыми:

4. если пара комплексных сопряженных корней r_1,2 = £±iß имеет кратность k, то соответствующие k-пар членов в форм.(3) заменяются слагаемыми:

55. Однородные д.У. 1-го порядка.

Ур-е 1-го порядка у'=f(x,y) (*) наз-ся однородным, если ф-ия f(x,y) может быть представлена как ф-ия только одного отношения переменных, т.е. f(x,y) = φ (y/x), т.о. у'= φ(y/x). Однород. Д.У, приводятся к Ур-ю с разделяющимися переменными с помощью замены у= u*x; u=u(x). Находя производную у'=(u*x)' = u' * x+ u*1. и подставляем в Ур-е (*) получим Д.У. с разделяющимися переменными.

54. Ду с раздел-мися переменными.

Ур-я 1-го порядка Р(х;у)dx + Q(x;y)dy=0, наз-ся ур-ем с разд-мися переменными, если ф-ии Р и Q различаются на множ-ли, зависящие только от одной переменной.

53.Д.У. Их порядок. Общие и частные интегралы.

ДУ наз-ся равенство, содержащее независимую переменную Х, неизвестную ф-ию У и ее производные или дифференциалы вида: F(x,y(x), y',y'',...,y⁽ⁿ⁾)=0 (1), где F- ф-ия указанных аргументов, заданная в некоторой области их изменения.

Если неизвестная ф-ия У зависит только от одного аргумента, то ДУ наз-ся обыкновенным.

Если ф-ия зависит от неск-их аргументов и ДУ содержит частные производные по этим аргументам, то оно наз-ся ДУ с частными производными.

Порядком ДУ наз-ся порядок высшей производной, содержащейся в этом ур-ии.

Ф-ия, удовлетворяющая ДУ, т.е обращающая его в тождество наз-ся интегралом( или решением) этого ур-я.

Интеграл ДУ наз-ся общий, если он содержит столько независимых производных постоянных, каков порядок ур-я, а ф-ия, получаемая из общего интеграла при различных числовых значениях производных постоянных наз-ют частными интегралами этого ур-я.

Нахождение частного интеграла ДУ n-нного порядка, удовлетворяющего n-ым начальным условиям:

В указанных n-начальных условиях Коши задаются значения ф-ии и ее производных при нек-ом значении аргумента Х=Х₀ .

По этим n-начальным условиям опред-ся значения всех n-произвольных постоянных С₁,С₂,С₃,….,С_n , входящих в общий интеграл Ур-я n-ного порядка.