34.Таблица основных интегралов.

33.св-ва неопред-го интеграла.

1.(∫f(x)dx)′=f(x), d(∫f(x)dx)=f(x)dx; df(x)=f ′(x)dx

2. ∫kf(x)dx=k; ∫f(x)dx, k-const

3.∫(f(x)±g(x))dx=∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx

Док-во: Пусть F(x)-первообр. для f(x) , G(x)- первообр. Для g(x),тогда

F′(x)= f(x) ; ∫ f(x)dx=F(x)+C; G′(x)=g(x), ∫ g(x)dx=G(x)+C;

(F(x)+ G(x))′=F′(x)+G′(x)= f(x)+g(x). Ф-ия F(x)+ G(x) явл-ся первообразной для ф-ии f(x)+g(x), поэтому ∫(f(x)+g(x))dx=F(x)+G(x)+C=F(x)+C₁+G(x)+C₂=∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx. Ч.т.д.

32. Понятие первообразной ф-ии. Неопред-й интеграл.

1.Если для любого значения переменной х выполняются рав-ва F′(x)=f(x). Если F(x) первообразная для f(x), то F(x)+C,также первообразная для f(x),где С - произвольная const.

2. Множ-во всех первообразных для ф-ии f(x) наз-ся неопред. интегралом и обознач-ся: ∫ f(x)dx. Из опред-я получаем: ∫ f(x)dx=F(x)+C.

31. Исследование ф-ии, асимптоты ф-ии(вертикал,наклонные).

Опр-е. Прямая а наз-ют асимптотой ф-ии у=f(x), если при стремлении т.М →∞ по кривой у=f(x) расстояние от т.М до прямой а δ→0. Асимптоты бывают: а)вертикальные и б)наклонные.

а) вертик.асимптота – это прямая х=а (|| OУ), если f(u)-не сущ-ет

б) наклонная асимптота-прямая у=kx+b, где k=

30. Исследование ф-ии. Выпуклость/вогнутость, точки перегиба.Достаточное условие существования точки перегиба.График.

Опр-е. Кривая наз-ся выпукла вверх, если любая ее касательная расположена выше графика ф-ии. Выпукла вниз(вогнута), если любая ее касательная насположена ниже графика ф-ии, точку, в кот-й меняется неправление выпуклости наз-ся точкой перегиба. Чтобы найти т.перегиба необходим график ф-ии, если нет, то по теореме.

Т. Пусть одна ф-ия у=f(x) – дифф-ма на нек-ом промежутке [a,b]. Если вторая производная f′′(x) во всех точках отриц-на, то кривая выпукла вверх, если вторая прозводная f′′(x)>0, то кривая вогнута.

Опр-е. Пусть т.х₁-критическая точка, т.е. вторая производная превращается в 0 или не сущ-ет. Если при переходе вторая производная меняет знак, то х₁-это точка перегиба.

29. Исследование ф-ии. Наибольшее и наименьшее значение ф-ии на отрезке.

Опр-е. Наибол. Значением ф-ии на нек-ом промежутке [a,b] наз-ся самое большое из всех значений, наименьшим-самое маленькое знач-е ф-ии на промежутке.

Правило: 1. f ′(x)=0 => х-max(min); 2) находят значение ф-ии на концах отрезка. 3) наиб. f(x): сравнить ф-ию на концах отрезка и ф-ию максимума и выбрать самое бол.; наим. f(x): сравнить ф-ию на концах отрезка и выбрать самую маленькую.

28. Экстремумы.Необходимые и достаточные условия существования экстремумов ф-ии. Исслед-е ф-ии с помощью 2-ой производной.

1.Если ф-ия y=f(x) имеет max в т. х₁ принадлеж. [a,b], то любые значения ф-ии в данных точках меньше. f(x)< f(x₁) => f(x+∆x)< f(x₁). Если у=f(x) имеет min в т. х₂ принадлеж. [a,b], то f(x+∆x)< f(x₂). При этом х₁ и х₂ наз-ют точками экстремума.

2. если ф-ия y=f(x) – дифф-ма и в т. х₁ ф-ия достигает max и min, то производная ф-ии данной точки обращ-ся в 0. f ′ (x₁)=0.

Пусть ф-ия у=f(x) – непрерывна на промеж. [a,b] и дифф-ма интервале (a,b) и содержит т.х₁,в кот-й производная обращ-ся в 0, то при переходе ч/з т.х₁ производная меняет знак с «-» на «+», т.х₁ – т. min, если производная меняет знак с «+» на «-», то х₁ – т. max.

3. Пусть производная в нек-ой т. х₁ обращ-ся в 0, х₁ – т.max, если вторая производная < 0, х₁ - т.max, если вторая производная >0 х₁ – т.min.