Министерство образования и науки Российской Федерации

ФГБОУ ВПО Нижегородский государственный педагогический университет

Проект изучения темы:

«Логарифмическая функция».

Факультет математики, информатики и физики

Кафедра теории и методики обучения математике

Работу выполнили:

студентки 341 гр.

Банникова Татьяна

Боброва Елена

Борисова Елена

Торкунова Наталья

Пендина Елена

Максимочкина Елена

Содержание проекта:

1.Обзор математической литературы……………………………………..3

2.Общая характеристика темы…………………………………………….4

3.Обзор методической литературы………………………………………..10

4.Логико-дидактический анализ содержания темы

А) Анализ теоретического материала

Б) Анализ задачного материала

5.Постановка учебных задач, диагностируемых целей

6.Тематическое планирование

7. Конспект урока

Обзор математической литературы.

1. Алексеев В.М. Избранные задачи. Сборник. 1977 год. 597 стр. В книгу включены лучшие задачи, опубликованные в журнале -"American Mathematical Monthly" с 1918 по 1950 г. Уникальный по диапазону и разнообразию затрагиваемых тем сборник содержит задачи из многих разделов классической и современной математики. Задачи могут быть использованы для проведения школьных и студенческих олимпиад, в работе математических кружков и при самостоятельном углубленном изучении математики. Книга представляет интерес для школьников старших классов, студентов, преподавателей математики и широкого круга любителей нестандартных задач.

Логарифмическая функция представлена задачами с параметрами, подробно разобран графический метод решения уравнений.

2. Ваховский Е.Б., Рывкин А.А. Задачи по элементарной математике. 1969год.495стр. Книга предназначена для углубленного изучения программы средней школы. В ней содержится около 500 задач (с указаниями и решениями), среди которых нет однотипных. В задачнике помимо стандартных задач, представлены олимпиадные с подробным решением. Учитель может использовать материал в подготовке к факультативным занятиям и ЕГЭ. Некоторые главы снабжены небольшими теоретическими введениями, дополняющими школьные учебники, представлены теоремы с доказательствами.

3. Виленкин Н. Я. Функции в природе и технике. Книга для внеклассного чтения IX-X кл. - М.: «Просвещение», 1978.

В книге рассказывается о различных приложениях элементарных функций, изучаемых в школе, о развитии и применениях дифференциального и интегрального исчислений. Целая глава этой книги посвящена периодическим процессам и колебаниям, законы которых описываются с помощью логарифмической функции. С помощью этого издания учащиеся смогут познакомиться с практическим применением изучаемой теории, подготовить доклады. Книга написана доступным для школьников языком.

4. Литвиненко, Мордкович. Практикум по элементарной математике. Алгебра, тригонометрия. 1995 год. 352 стр. Настоящее пособие предназначено студентам физико-математических факультетов педагогических институтов и университетов и имеет своей целью дать студентам и преподавателям педвузов материалы для практических занятий по многосеместровому курсу "Элементарная математика и практикум по решению математических задач", который занимает важное место в профессиональной подготовке будущего учителя. Эта книга не только и не столько задачник, сколько практикум. Это нашло свое отражение в структуре книги: каждый параграф, кроме упражнений для самостоятельного решения, содержит необходимый теоретический материал и довольно большое число различных по трудности примеров с подробными решениями.

5. Лурье М.В. Алгебра. Техника решения задач. 2005 год. 193 стр. Настоящее учебное пособие предназначено для подготовки к вступительным экзаменам по математике в ВУЗ и содержит достаточно подробное изложение теоретического и практического материала по школьному курсу математики, касающегося алгебраических, показательных и логарифмических функций. В пособии представлены те разделы, которые охватывают три первые задачи экзаменационного билета. Для лучшего освоения материала по каждому разделу даны задачи для самостоятельного решения.

6. Маслова Т.Н., Справочник школьника по математике, 5 - 11 класс, из-во: Оникс, 2008г., 682с.

В этом справочнике в краткой и доступной форме излагается весь материал школьного курса математики для 5—11-х классов. Он содержит большое количество примеров и задач с подробными решениями, при их решении зачастую используется не только материал того пункта, к которому относится рассматриваемый пример или задача, но и материал других разделов. Доказательства теорем в справочнике не приводятся — эти доказательства можно найти в школьных учебниках по математике.

III раздел справочника посвящен функциям и графикам, подробно рассмотрены общие положения, подобраны примеры.

В этом разделе дается строгое определение логарифмической функции, её основные свойства.

§12, Стр.116 Логарифмическая функция.

Приведены задачи на построение графика, на основные свойства, решение уравнений.

7. Серов А.А., Смирнов В.П., Фролов В.М. Алгебраическая, показательная и логарифмическая функции. Учебное пособие. 2004 год. 96 стр.

Настоящее учебное пособие предназначено для подготовки к вступительным экзаменам по математике в ВУЗ и содержит достаточно подробное изложение теоретического и практического материала по школьному курсу математики, касающегося алгебраических, показательных и логарифмических функций. В пособии представлены те разделы, которые представлены в задачах ЕГЭ. Для лучшего освоения материала по каждому разделу даны задачи для самостоятельного решения.

Общая характеристика темы.

Историческая справка.

Принцип, лежащий в основе любой системы логарифмов, известен очень давно и может быть прослежен вглубь истории вплоть до древневавилонской математики (около 2000 до н.э.). В те времена интерполяция между табличными значениями целых положительных степеней целых чисел использовалась для вычисления сложных процентов. Гораздо позже Архимед (287–212 до н.э.) воспользовался степенями числа 108 для нахождения верхнего предела числа песчинок, необходимого для того, чтобы целиком заполнить известную в те времена Вселенную. Архимед обратил внимание на свойство показателей степеней, лежащее в основе эффективности логарифмов: произведение степеней соответствует сумме показателей степеней. В конце Средних веков и начале Нового времени математики все чаще стали обращаться к соотношению между геометрической и арифметической прогрессиями.

М.Штифель в своем сочинении Арифметика целых чисел (1544) привел таблицу положительных и отрицательных степеней числа 2:

Штифель заметил, что сумма двух чисел в первой строке (строке показателей степени) равна показателю степени двойки, отвечающему произведению двух соответствующих чисел в нижней строке (строке степеней). В связи с этой таблицей Штифель сформулировал четыре правила, эквивалентных четырем современным правилам операций над показателями степеней или четырем правилам действий над логарифмами: сумма в верхней строке соответствует произведению в нижней строке; вычитание в верхней строке соответствует делению в нижней строке; умножение в верхней строке соответствует возведению в степень в нижней строке; деление в верхней строке соответствует извлечению корня в нижней строке.

По-видимому, правила, аналогичные правилам Штифеля, привели Дж.Непера к формальному введению первой системы логарифмов в сочинении Описание удивительной таблицы логарифмов, опубликованном в 1614. Но мысли Непера были заняты проблемой превращения произведений в суммы еще с тех пор, как более чем за десять лет до выхода своего сочинения Непер получил из Дании известие о том, что в обсерватории Тихо Браге его ассистенты располагают методом, позволяющим превращать произведения в суммы. Метод, о котором говорилось в полученном Непером сообщении, был основан на использовании тригонометрических формул типа

п оэтому таблицы Непера состояли главным образом из логарифмов тригонометрических функций. Хотя понятие основания не входило в явном виде в предложенное Непером определение, роль, эквивалентную основанию системы логарифмов, в его системе играло число (1 – 10^–7)ґ10⁷, приближенно равное 1/e.

Независимо от Непера и почти одновременно с ним система логарифмов, довольно близкая по типу, была изобретена и опубликована Й.Бюрги в Праге, издавшем в 1620 Таблицы арифметической и геометрической прогрессий. Это были таблицы антилогарифмов по основанию (1 + 10^–4) ґ10⁴, достаточно хорошему приближению числа e.

В системе Непера логарифм числа 10⁷ был принят за нуль, и по мере уменьшения чисел логарифмы возрастали. Когда Г.Бриггс (1561–1631) навестил Непера, оба согласились, что было бы удобнее использовать в качестве основания число 10 и считать логарифм единицы равным нулю. Тогда с увеличением чисел их логарифмы возрастали бы. Таким образом мы получили современную систему десятичных логарифмов, таблицу которых Бриггс опубликовал в своем сочинении Логарифмическая арифметика (1620). Логарифмы по основанию e, хотя и не совсем те, которые были введены Непером, часто называют неперовыми.

П

Рис. 1. ГРАФИК ВЕТВИ ГИПЕРБОЛЫ xy = 4. Площади под гиперболой на отрезках от x =1 до x = 2, от x = 2 до x = 4 и от x = 4 до x = 8 равны; общая площадь заштрихованной фигуры возрастает в арифметической прогрессии (1, 2, 3, 4), тогда как длина отрезков на оси x возрастает в геометрической прогрессии (1, 2, 4, 8).

ервые логарифмы в силу исторических причин использовали приближения к числам 1/e и e. Несколько позднее идею натуральных логарифмов стали связывать с изучением площадей под гиперболой xy = 1 (рис. 1). В 17 в. было показано, что площадь, ограниченная этой кривой, осью x и ординатами x = 1 и x = a (на рис. 1 эта область покрыта более жирными и редкими точками) возрастает в арифметической прогрессии, когда a возрастает в геометрической прогрессии. Именно такая зависимость возникает в правилах действий над экспонентами и логарифмами. Это дало основание называть неперовы логарифмы «гиперболическими логарифмами».

Из программы по математике.

Логарифмическая функция.

Логарифмы. Свойства логарифмов. Десятичные и натуральные логарифмы. Логарифмическая функция, ее свойства и график. Логарифмические уравнения. Логарифмические неравенства.

Основная цель – сформировать понятие логарифма числа; научить применять свойства логарифмов; сформировать понятие логарифмической функции; изучить свойства логарифмической функции и научить применять ее свойства при решении простейших логарифмических уравнений и неравенств; строить график логарифмической функции.

До этой темы в курсе алгебры изучались такие функции, вычисление значений которых сводилось к четырем арифметическим действиям и возведению в степень. Для вычисления значений логарифмической функции нужно уметь находить логарифмы чисел, то есть выполнять новое для учащихся действие – логарифмирование.

Доказательство свойств логарифма опирается на его определение. На практике рассматриваются логарифмы по различным основаниям, в частности по основанию 10 (десятичный логарифм) и по основанию е (натуральный логарифм), отсюда возникает необходимость формулы перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию. Так как на инженерном микрокалькуляторе есть клавиши lg и ln, то для вычисления логарифма по основаниям, отличных от 10 и е, нужно применить формулу перехода.

Логарифмическая функция часто встречается в природе и технике. Свойства логарифмической функции активно используются при решении логарифмических уравнений и неравенств. Изучение свойств логарифмической функции проходит совместно с решением уравнений и неравенств.

При решении задач с использованием логарифмической функции нужно обращать внимание на область определения функции.

Сравнительный анализ содержания темы в различных школьных учебниках: