20. Основные понятия математической статистики. Числовые характеристика вариативного ряда

Математическая статистика занимается установлением закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, на основе обработки статистических данных, полученных в результате наблюдений. Двумя основными задачами математической статистики являются:

- определение способов сбора и группировки этих статистических данных;

- разработка методов анализа полученных данных в зависимости от целей исследования, к которым относятся:

а) оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения; оценка параметров распределения, вид которого известен; оценка зависимости от других случайных величин и т.д.;

б) проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о значениях параметров известного распределения.

Для решения этих задач необходимо выбрать из большой совокупности однородных объектов ограниченное количество объектов, по результатам изучения которых можно сделать прогноз относительно исследуемого признака этих объектов.

Основные понятия математической статистики.

Генеральная совокупность – все множество имеющихся объектов.

Статистическая совокупность – часть генеральной совокупности – выборка, над которой производится исследование.

Выборка – набор объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности.

Объем генеральной совокупности N и объем выборки n – число объектов в рассматриваемой совокупности.

Виды выборки:

Повторная – каждый отобранный объект перед выбором следующего возвращается в генеральную совокупность;

Бесповторная – отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

Если статистическая совокупность принимает значения x1, x2, каждое xiназывается вариантой осей совокупности x

Если упорядочить варианты по возрастанию, то получим дискретный вариационный ряд.

В случае группировки по интервалам, то получим непрерывный(интервальный) вариативный ряд.

Под частотой значения признака Mпонимают число членов совокупности с данной вариантой.

Относительная частота (W=m\n)m- частота, N–объем совокупности

Соответствие между вариантами вариационного ряда и частотами соответствующих вариант (относительными частотами) называется статистическим распределением выборки. Её графическое представление наз-ся полигоном частот (или относит.частот).

Числовые характеристика вариационного ряда.

Обычно в распоряжении исследователя имеются лишь данные выборки, например значения количественного признака x1,x2…xn, полученные в результате nнаблюдений(независимые испытания). Через эти данные и выражают оцениваемый параметр. Рассматривая x1,x2…xn как независимые случайные величины X1, X2,…Xn можно сказать, что найти статистическую оценку неизвестного параметра теоретического распределения – это значит найти функцию от наблюдаемыхслучвеличи, которая и даёт приближенное значение оцениваемого параметра.

Различают смещенные и несмещенные оценки совокупности

Для того, чтобы статистические оценки давали хорошие приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определенным требованиям.

Пусть θ* - статистическая оценка неизвестного параметра θ

Несмещенной называют статистическую оценку Q*, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру Q при любом объеме выборки, т. е.

M(Q*) = Q.

Смещенной называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объеме выборки п) имеет наименьшую возможную дисперсию.