Распределения непрерывной случайной величины
Равномерное распределение .Непрерывная величина Х распределена равномерно на интервале (a, b), если все ее возможные значения находятся на этом интервале и плотность распределения вероятностей постоянна:
Для случайной величины Х , равномерно распределенной в интервале (a, b) (рис. 4), вероятность попадания в любой интервал (x1, x2), лежащий внутри интервала (a, b), равна:
график
Экспоненциальное (показательное)распределение
Непрерывная случайная величина Х имеет показательное распределение, если плотность распределения ее вероятностей выражается формулой:
3. Нормальное распределение.
Нормальное распределение – распределение непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью
Где
-
мат. Ожидание, и
-
среднеквадратическое отклонение
нормального распределения.
Вероятность попадания Х в интервал[α;β]
P[α≤X≤β]=
Пусть
,
тогда
Закон больших чисел
Нельзя заранее уверенно предвидеть, какое из возможных значений примет случайная величина в итоге испытания, что зависит от многих случайных причин, учесть которые невозможно. Оказывается, можно установить закономерности поведения и суммы достаточно большого числа случайных величин, т.к. при сравнительно широких условиях суммарное произведение достаточно большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным. Для практики важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных величин приводит к результату, почти независящему от случая, т.к. позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия указываются в теоремах, которые носят общее название: закон больших чисел.
К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли. Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли - простейшим.
Лемма Чебышева.
Если случайная величина X принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание М(Х), то для любого α>0 имеет место неравенство: P(X≥α)≤(M(X))/α.
Неравенство Чебышева.Если случайная величина X имеет математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X), то для любого ε>0 имеет место неравенство:
Теорема Чебышева.Пусть Х1, Х2, .. .,Хn - последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих конечные математические ожидания и их дисперсии равномерно ограничены,
Теорема утверждает, что есть некоторое большое число независимых случайных величин, имеющих ограниченную дисперсию, то почти достоверно считать событие: отклонение среарифмслуч величины от среднеарифм их мат ожиданий будет по абс величине сколь угодно мало.
Сущность теоремы Чебышева: хотя отдельные независимые случ величины могут принимать значения дальше своего мат ожидания, срарифм достаточно большого числа случвеличи с большей вероятностью примет значение, близкое к ср арифм их мат ожидания.
Неравенство Чебышева для среднеарифм.
Где D(X)<=C
Теорема Бернулли
Пусть производитсяnнезависимых испытаний, в каждом из которых вероятнпоявл события Aравна р.
Теорема: Если в каждом из n независимых испытаний вер. Р(А) постоянна, то как угодна близка к 1-це вероятность того, что отклонение абс частоты от р по абс величине, если число опытов дост велико.
Оценка бернуллидля относит. Частоты
