2. Аксиомы тв

• Каждому событию А ставится в соответствие неотрицательное число Р(А), называемое вероятностью события

• Если события А₁…А_n попарно-несовместны, то вероятность события их суммы = сумме вероятностей каждого из этих событий

Р(А₁+…+А_n )=Р(А₁)+…+Р(А_n ) – аксиома счетной аддитивности

• Вероятность достоверного события равна 1. Р(U)=1

Свойства:

• Вероятность достоверного события = 1(если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует испытанию,в этом случае m=n , значит Р(А)=m/n = 1)

• Вероятность недостоверного события = 0 (если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует испытанию,в этом случае m=0 , значит Р(А)=m/n = 0)

• Р(А)€[0;1] (случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных элементов, в этом случае 0<m<n, значит 0≤ m/n≤1)

• Р(А)+Р(¬А) = 1(события А и ¬А – противоположные, значит образуют полную группу, А + (¬А) = U, а p(U)=1)

• Для любых 2-х событий А и В: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В) (т.к. A=A*B+A*(¬B) =>p(A)= p(A*B)+p(A*(¬B))

A+B=B+A*(¬B) =>p(A+B)=p(B)+p(A*(¬B))

p(A+B) - p(A) =p(A*B)+p(A*(¬B)) - p(B)+p(A*(¬B))

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В)

Теорема1. Пусть последовательность событий А_1, А₂… такова, что каждое следующее является частным случаем предыдущего А₁ƆА₂ƆА_3, тогда

Lim_n-∞A_n=P(A), A=А₁*А₂*А_3…

3. Размещения, перестановки и сочетания

При вычислении вероятностей часто приходится использовать некоторые формулы комбинаторики – науки, изучающей комбинации, которые можно составить по определенным правилам из элементов некоторого конечного множества. Основные такие комбинации:

• Перестановка – это комбинации, составленные из всех п элементов данного множества и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок

Без повторений: Р_n=n!

С повторениями: P_ab…z= (n-кол-во всех элементов, a,b…z-кол-во повторяющихся элементов)

• Размещение - комбинации из n элементов множества, содержащего k различных элементов, отличающиеся либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений

Без повторений: А^k_n=

C повторениями: А^k_n=n^k

• Сочетание - неупорядоченные наборы из n элементов множества, содержащего k различных элементов

Без повторенийC^k_n=

С повторениями С^k_n=С_n+k-1

4. Правила суммы и произведения

Правило суммы.Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов mспособами, а объект В n способами, то выбор «А или В» может быть осуществлен «m+n» способами.

Правило произведения.Если объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а послетакого выбора объект В может быть выбран n способами, то пара объектов «А и В» могут быть выбраны «m*n» способами.

Формула, обобщающая правило суммы(ф-ла включений и исключений):

Если мн-во А и В содержит соответственно mи lэлементов, а их пересечение содержит pэл-тов, то =m+n-pэлементов

.

Для любых подмножеств А_1, А₂…А_nнекоторого множества Х справедливо:

5. Условная вероятность

Вероятность события А при условии, что произошло событие В называется условной вероятностью

Пусть множество элементарных событий W состоит из nэлементов. Событию А благоприятствует mэлементов, событию В – kэлементов, А*В (одновременно) – rэлементов. Тогда: Р(А/В)= =

Если для событий А и В выполняется равенство Р(А/В)= Р(А), то говорят, что события А и В несовместны, значит

События В₁, …, В_nназываются независимыми в совокупности ,если выполняется неравенство P(В_1* …* В_n) =P(В₁)*…*P(В_n)