1.6.3. Пример

□ Условия связи (дифференциальные) имеют вид

так что

. Матрица Якоби

имеет ранг 2 (минор ).

Составляем функцию Лагранжа

, составляем систему уравнений Эйлера для вспомогательного функционала с интегрантом :

Присоединив условия связи, получим систему уравнений для отыскания неизвестных функций :

Функции исыграли свою роль для получения этой системы. Больше они не нужны (важно лишь, что они существуют). Поэтому исключим их из системы: учитывая, чтополучим систему

Отсюда находим

Используем краевые условия:

Отсюда

Нашли единственную экстремаль

.

Рассмотрим теперь изопериметрическую задачу.

1.6.4. Теорема (необходимое условие экстремума в изопериметрической задаче).

Пусть функционал от вектор-функции

(6)

определенный на множестве функций где, удовлетворяющих краевым условиям

(7)

и интегральным условиям связи

(8)

где заданные числа (не требуется), имеет в допустимой точкеэкстремум.

Тогда существуют такие числа что функцияявляется экстремалью вспомогательного функционала

интегрантом которого является функция Лагранжа

(числа называются множителями Лагранжа).

□ Сведем изопериметрическую задачу к задаче Лагранжа. Введем функции , и будем рассматривать функционал (6) как функционал отмерной вектор-функции

(9)

(который от фактически не зависит), определенный на множестве функций где (так как функции непрерывны по, тонепрерывны на, т.е. все). Функции удовлетворяют краевым условиям

(10)

и условиям связи

т.е. дифференциальным условиям связи

(11)

где

Таким образом, если функция удовлетворяет краевым условиям (7) и интегральным условиям связи (8), то функцияудовлетворяет краевым условиям (10) и дифференциальным условиям связи (11). При этом, если прифункционал (6) имеет экстремальное значение, то при, гдефункционал (9) имеет экстремальное значение (то же самое)(так как функционал не содержит).

Итак, если является решением изопериметрической задачи (6)-(7)-(8), тоявляется решением задачи Лагранжа (9)-(10)-(11) и можно применить теорему 1.6.1.

Матрица Якоби

имеет, очевидно, ранг, равный (числу условий связи), так как минор-го порядка.

Условия теоремы 1.6.1 выполнены. Значит, функция

является экстремалью вспомогательного функционала с интегрантом

, где - множители Лагранжа. Это означает, что функцияудовлетворяет системе уравнений Эйлера

Здесь

Кроме того,

.

Таким образом, существуют постоянные числа такие, что выполнены уравнения Эйлера для функции Лагранжа:

(после подстановки ; здесьне участвуют). ■

1.6.5. Пример (Задача Дидоны). В IX веке до н.э. финикийская царевна Дидона со своими спутниками, спасаясь от преследования тирской знати, бежала из города Тира и высадилась на африканском берегу Средиземного моря. Решив поселиться здесь, Дидона упросила местных жителей отдать в ее распоряжение участок земли, который можно охватить шкурой быка. Простодушный правитель тех мест не понял подвоха и согласился отдать участок земли, который по его разумению, должен был по площади быть равным площади расправленной шкуры быка. Дидона же разрезала шкуру быка на тонкие полоски, связала их в длинный ремень и ограничила им довольно значительную территорию на берегу моря. Так был заложен город Карфаген (который впоследствии был разрушен римлянами).

Задача, которую поставила Дидона, может быть сформулирована следующим образом. Найти такую гладкую кривую в верхней полуплоскости, проходящую через точки ии имеющую данную длину, которая охватывала бы вместе с отрезкоммаксимальную площадь:

. Функция Лагранжа .

Уравнение Эйлера

Экстремалями являются окружности. Из краевых условий находим:

, , и уравнение окружности имеет вид.

Выразив отсюда , вычисливи приравняв результат к, получим одно уравнение с неизвестным(получается трансцендентное уравнение, которое можно решить только приближенно). Вычислив, получим уравнение конкретной

окружности. Так как по смыслу задачи максимум есть, а экстремаль только одна, то дуга найденной окружности и будет точкой максимума.