2.3. Примеры синтеза оптимального управления

Задача 1. Пусть материальная точка с массой движется по инерции вдоль прямой. Нужно быстрейшим образом остановить движение этой точки в заданном месте, которое мы примем за начало координат, с помощью ограниченной по величине силы.

Пусть координата точки в момент времени. Управление движением начинается в момент временив точкесо скоростьюи должно закончиться за наименьшее времяв точкесо скоростью. Управлениемявляется сила, ограниченная по величине:, так что область управления. Крайние значенияиозначают включение двигателя на полную мощность в отрицательном и положительном направлениях осисоответственно. При движении в положительном направлении осискорость положительна:, а при движении в отрицательном направлении- отрицательна:.

Для простоты вычислений будем считать, что масса ед.

Ускорение движения создается управлением (силой), и по второму закону Ньютона имеем уравнение движения

(1)

с краевыми условиями

Сведение задачи 1 к нормальной линейной системе

дифференциальных уравнений. Проверка управляемости.

Введем новые неизвестные функции и:,. Тогда уравнение движения (1) (уравнение 2-го порядка) сведется к нормальной линейной системе двух дифференциальных уравнений

с краевыми условиями .

Так как , то,

а так как то(скалярная функция:).

Таким образом, имеем стационарную линейную задачу оптимального быстродействия

(2)

Фазовое ограничение отсутствует: допустимые фазовые состояния заполняют всю плоскость:На фазовой плоскости первая координататочкиозначает координату движущейся точки на оси, вторая координатаскорость точки.

По критерию Калмана 8.1 проверим управляемость задачи (2) (здесь ):

, задача управляема.

Нахождение оптимального управления и оптимальных

траекторий без краевых условий. Линия переключения.

Составим сопряженную систему

.

Ее общее решение т.е., гдепроизвольный постоянный вектор.

Составим функцию Понтрягина:

.

Пусть фиксировано. Если, то среди всех допустимых значениймаксимальное значение функции Понтрягина доставляет знчение. Если, то функцияполучает максимальное значение при. Таким образом, при всех(за исключением значения, при котором) функция управления, доставляющая максимум функции Понтрягина, принимает только два значенияи.

Отметим, что условие 2 принципа Понтрягина при таком выборе значений автоматически выполняется:

(за исключением одного значения , при котором).

Согласно принципу максимума Понтрягина, оптимальные траектории можно получить только при значениях .

Пусть . Тогда система (2) имеет вид.

Ее общее решение

(3)

где произвольные постоянные (их обозначилив отличие от постоянныхив решении сопряженной системы. Кроме того, вместозаписали, так кактоже произвольная постоянная, как и). Это – семейство оптимальных фазовых траекторий под управлением. Исключая время, получимсемейство парабол.

Из уравнения видно, что с увеличением времениординататочкина параболе уменьшается. Следовательно, движение фазовой точки вдоль параболы происходит вниз.

Пусть . Тогда система (2) имеет вид. Её общее решение:

(4)

Это – семейство оптимальных фазовых траекторий под управлением . Исключая, получаемсемейство парабол.

Из уравнения видим, что с возрастанием времениточкадвижется вдоль параболы вверх.

Семейства оптимальных траекторий (3) и (4) получены без учета краевых условий. Пока о роли этих семейств можно сказать следующее:

Если точки илежат на одной из парабол, то именно кусок этой параболы, соединяющий точкии, является оптимальной траекторией (при совпадении направления): объект перейдет из фазового состоянияв фазовое состояниеза кратчайшее время именно по этой траектории.

Движение фазовой точки к пункту назначенияпроисходит по верхней части параболы семейства (3) при:

по нижней части параболы семейства (4) при :

.

Линия , составленная из кусков парабол семейств (3) и (4), входящих в начало координат, называетсялинией переключения.

Синтез оптимальной траектории.

Пусть точка лежит выше линии переключения. Мы увидим, что оптимальной траекторией окажется траектория, составленная из куска одной из парабол семейств (3) или (4) и куска линии переключения. Двигаясь из точкипо параболе семейства (4) не попадем ни в начало координат, ни на линию переключения.

Поэтому надо начать движение по параболе семейства (3), которая проходит через точкув момент.

В некоторый момент попадем в точку, где эта парабола пересекается с линией переключения. Затем, двигаясь с моментаиз точкипо линии переключения, в моментпопадем в точку. Полученная траектория и будет оптимальной. В самом деле, проверим выполнение теоремы 2.2.4. При, т.е., выбрано управление, а при, т.е., выбрано управле-

ние . Значит, на отрезкепри постоянном векторезначениявыбраны так, что при каждом фиксированном, кроме,

1. значение функции Понтрягина

максимальное среди значений, принимаемых этой функцией при всех .

2. выполняется автоматически, как отмечалось раньше.

Условия теоремы 2.2.4 выполнены. Поэтому, согласно принципу максимума Понтрягина, построенная траектория является оптимальной в смысле быстродействия, а соответствующее управление является оптимальным.

Аналогично строится оптимальное управление и оптимальная траектория в случае, когда точка находится ниже линии переключения (в этом случае постоянный вектор). Еслинаходится на линии переключения, то, очевидно, оптимальной траекторией является кусок самой линии переключения.