2.3.1. Пример

(В момент точка проходит через положениевлево со скоростью. Нужно остановить ее в положении).

Пусть . Решаем систему

(5)

Это – семейство парабол .

Пусть ,

(6)

Линия переключения . Находим закон движения из точки с моментапо параболе семейства (6):

полагая , находим

;

Закон движения

. (7)

Это движение происходит по параболе . Найдем точкупересечения с линией переключения. Пересечение происходит при.

Поэтому решаем систему уравнений .

Находим момент попадания в эту точку, используя закон движения (7):.

Находим закон движения из точки с моментапо линии переключения, полагая в (5)::

. Закон движения .

Наконец, находим момент попадания в начало координат:

.

Итак, оптимальная траектория

. Оптимальное уравнение .

Судя по изображенной фазовой траектории, управление движением происходило так:

В момент точка проходила положениесо скоростьюдвигаясь влево. Чтобы остановить ее, включили двигатель на полную мощность(по оси). Точка остановилась в положениис нулевой скоростью. Под тем же управлениемточка двигалась до положения, где имела уже положительную скоростьк моментуВ этот момент, чтобы точка, набирая положительную скорость, не перескочила начало координат, управление переключили на. Это управление затормозило точку и к моментуостановило ее в начале координат.

2.3.2. Пример.

Положим в примере 2.3.1 Тогда точканаходится на линии переключения. Закон движения из этой

точки с момента

Находим момент попадания в точкуОптимальная траектория. Оптимальное управление.

Задача 2. Математический маятник – груз малых размеров с массойна невесомом стержнедлинойнаходится вблизи верхнего (неустойчивого) положения равновесия. Требуется под действием ограниченной по величине силы, направленной перпендикулярно к оси маятника, за кратчайшее время привести маятник к положению равновесия с нулевой скоростью (трением пренебрегаем).

Обозначим угол отклонения маятника от положения равновесия в момент времени, отсчитываемый в направлении против часовой стрелки.

Управление движением начинается в момент времени при отклонении, когда скорость отклонения, и должно закончиться за наименьшее времяпри отклонениии скорости отклонения.

Управлением является сила , крайние значенияиозначают включение двигателя на полную мощность в положительном и отрицательном направлении отклонения соответственно.

Составим уравнение движения маятника. Движение маятника по окружности происходит под действием силы (составляющая силы тяжести в направлении касательной) и управленияс линейным ускорением. По второму закону Ньютона

Это – нелинейное (из-за ) дифференциальное уравнение второго порядка с неизвестной функцией. Ограничиваясь положениями маятника, достаточно близкими к положению равновесия, мы можем заменитьна(так какпри малых). Получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка

.

Для упрощения вычислений будем считать, что

.

Как и в задаче 1, перейдем к нормальной системе заменой . Получим линейную стационарную задачу оптимального быстродействия

(1)

или

где .

Кроме ограничения на управление , в этой задаче имеется фазовое ограничение, гденекоторое множество на фазовой плоскости. (например, первая координатаограничена некоторым отрезком, в пределах которого считаем).

Пользуясь критерием Калмана, проверим управляемость задачи (1) (в пределах фазового ограничения):

задача управляема.

Нахождение оптимального управления и оптимальных траекторий без краевых условий. Линия переключения.