Если функционал от вектор - функции

определенный на множестве функций гдеудовлетворяющих краевым условиям(2):

,

,

имеет в допустимой точке экстремум, то эта вектор-функцияудовлетворяет системедифференциальных уравнений Эйлера-Пуассона:

(3)

□ Сначала докажем для функционала от одной функции

причем при для, определенного на множестве функцийудовлетворяющих краевым условиям

Допустимыми вариациями являются функции такие, что(придоказательство аналогично). Для упрощения доказательства добавим условие: функция, доставляющая экстремум функционалу, четырежды непрерывно дифференцируема, т.е.вместо(теорема верна и без этого условия).

Согласно теореме 1.2.11, в точке локального экстремума при любой допустимой вариации аргумента вариация функционала равна нулю:. Согласно теореме 1.3.1,

.

Значит, при любой функции , удовлетворяющей условиям

выполняется равенство

.

Второй и третий интегралы возьмем по частям:

так как

так как

Таким образом, при любой допустимой функции

(4)

Здесь содержит, и при двукратном дифференцировании пов слагаемомпоявляется; для непрерывности этого слагаемого достаточно, чтобыбыла непрерывна. Именно здесь используется дополнительное условие.

Итак, подынтегральная функция непрерывна на отрезке, и при любой функциитакой, что, выполняется равенство (4). Тем более оно выполняется при любой функции, бесконечно дифференцируемой наи такой, что(так как еслибесконечно дифференцируема, то производная любого порядканепрерывна:, в частности,). Но это означает выполнение условий леммы Лагранжа 1.1.2. Согласно этой лемме,на. Таким образом, для функционала от одной функции доказано, что точка экстремумаудовлетворяет на отрезкеуравнению Эйлера-Пуассона:

. (5)

Согласно теореме 1.2.11 у функционала от вектор – функции в точке экстремумавариация по каждому аргументу(при фиксированных остальных аргументах) обращается в нуль при любой вариацииаргумента:. Поэтому, рассматривая функционалкак функционал от одной функции, получаем, что функцияудовлетворяет науравнению (5):

.

Это верно при каждом так что вектор- функцияудовлетворяет насистеме уравнений (3) ■

1.4.2. Определение. Вектор-функция , удовлетворяющая системе уравнений Эйлера-Пуассона, называетсяэкстремалью функционала .

В случае функционала от одной функции экстремалью является одна числовая функция числовой переменной.

Замечание. Уравнения Эйлера-Пуассона в случае, когда функционал содержит только производные первого порядка, называют уравнениями Эйлера.

1.4.3. Пример.

Среди гладких линий, соединяющих данные точки и, найти ту, которая при вращении вокруг осиобразует поверхность наименьшей площади. □ Площадь поверхности вращения равна

Имеем простейшую вариационную задачу в пространстве

Множитель не влияет на наличие экстремума, поэтому будем считать, что интегрант. Составим уравнение Эйлера:

Уравнение не содержит . С помощью замены переменнойнаходим общее решение

.

Покажем, что если , то. В самом деле,

Поэтому Мы нашли семейство экстремалей, зависящее от двух параметрови. Для нахождения конкретных значений постоянныхииспользуем краевые условия:

.

Это – система трансцендентных уравнений с неизвестными и(решается только численным методом, т.е. приближенно).

Экстремаль есть цепная линия (на рисунке – штриховая линия). Она получена из простейшей цепной линии сжатием-растяжением и сдвигом (свободно провисающая бельевая веревка имеет форму цепной линии).■