1.6. Вариационные задачи на условный экстремум

В рассмотренных задачах решения должны были удовлетворять некоторым краевым условиям. Но во многих приложениях вариационного исчисления на решение задачи, кроме краевых условий, накладываются некоторые дополнительные условия – так называемые условия связи.

Пусть требуется найти экстремум функционала

, (1)

который будем называть целевым функционалом, на множестве функций , удовлетворяющих краевым условиям

и некоторым условиям связи, которые могут выражаться дифференциальными уравнениями (их число должно быть меньше числафункций)

(2)

(производные могут не участвовать, тогда будут просто функциональные уравнения), или интегральными уравнениями

(3)

где заданные числа.

Здесь предполагается, что функции имеют непрерывные частные производные до 2-го порядка включительно по всем своим аргументам прии любых.

Эта задача общего вида называется вариационной задачей на условный экстремум. Если даны условия связи дифференциальными (или функциональными) уравнениями (2), то это – задача Лагранжа, если условия связи – интегральные уравнения (3) – изопериметрическая задача (последнее название связано с тем, что эта задача является обобщением старинной задачи Дидоны: среди кривых с заданной длинной (с равными – “изо” – периметрами) найти ту, которая ограничивает на плоскости фигуру наибольшей площади). Задача на условный экстремум может быть смешанной с условиями связи обоих видов (2) и (3).

Функциональные условия связи (не содержащие производных) называютсяголономными связями в отличие от дифференциальных связей.

Начнем с задачи Лагранжа. Сформулируем соответствующую теорему без доказательства.

1.6.1. Теорема (необходимое условие экстремума в задаче Лагранжа).

Пусть функционал от вектор - функции

,

определенный на множестве функций , где, удовлетворяющих краевым условиям

и условиям связи: голономным

(4)

или дифференциальным

(5)

имеет в допустимой точке экстремум.

Если матрица Якоби

в случае голономных связей (4),

в случае дифференциальных связей (5) после подстановки вместо функцийимеет ранг(т.е. в матрице имеется хотя бы один отличный от нуля минорго порядка – по числу уравнений связи), то существуют такие функции, определенные на отрезе, что функцияявляется экстремалью вспомогательного функционала

,

интегрантом которого является функция Лагранжа

(функции

называется множителями Лагранжа).

1.6.2. Пример. Типичным примером является задача о геодезических линиях: на поверхности найти геодезическую линию, соединяющую точкии(т.е. линию наименьшей длины).

Если линию искать в виде , т.е. как линию пересечения цилиндрических поверхностейи, то, используя её параметрическое представление (за параметр возьмем)

получим ее длину , так что имеем задачупри краевых условияхи при одном голономном условии связи(которое означает, что искомая линия должна лежать на поверхности:). При решении этой задачи получается сложная система дифференциальных уравнений с неизвестными функциями(множитель Лагранжа),. Мы для демонстрации решения задачи Лагранжа возьмем более простой пример.