Сопряженная система

имеет общее решение

где – постоянный вектор. Функция Понтрягина имеет вид

При фиксированном , еслиили, то функция Понтрягина имеет максимальное значение, если взятьилисоответственно. Таким образом, функция управления, доставляющая максимум функции Понтрягина, имеет только два значенияи, и переключение этих значений происходит в единственной точке, в которой.

При таком выборе функции будет автоматическипри всех, кроме упомянутого исключительного значения.

Найдем фазовые траектории под управлениями и.

При система (1) имеет вид

(2)

Ее общее решение

(3)

где - произвольные постоянные. Исключив отсюда, получим

–семейство равнобочных гипербол с центром и асимптотамии. Из равенства(в системе (2)) видно, что еслитоа еслито. Это значит, что с возрастанием временив верхней полуплоскости (где) движение происходит слева направо (возрастает), а в нижней полуплоскости () движение справа налево (убывает).

Аналогично при из системыполучаем

(4)

семейство равнобочных гипербол с центроми с асимптотамии. Как и в случаеприипри: в верхней полуплоскости движение происходит слева направо, в нижней полуплоскости – справа налево.

Движение фазовой точки к пункту назначенияпроисходит слева направо по верхней части левой ветви гиперболы семейства (3) с уравнением

(5)

и справа налево по нижней части правой ветви гиперболы семейства (4) с уравнением

. (6)

Линия переключения имеет уравнения

(7)

Построение оптимальной траектории при данных краевых условиях.

Как и в задаче 1, оптимальная траектория будет состоять из куска одной из гипербол семейства (3) и (4) и куска линии переключения. Из рисунка видно, что если точка находится в полосе между прямымии, то оптимальная траектория

найдется. Если же точка находится вне этой полосы или на одной из прямых ,, то оптимальной траектории нет (Это объясняется тем, что в задаче имеется фазовое ограничениетак что).

Пусть, например, точка содержится в этой полосе левее линии переключения в верхней полуплоскости.

Тогда по одной из гипербол семейства (4) под управлением в некоторый моментдойдем до линии переключения и затем по линии переключения под управлениемдойдем до точки. Эта траектория будет оптимальной, так как выполняется принцип максимума Понтрягина.

Действительно, при , т.е.где, использовано управление, а при, т.е., использовано управление. Это значит, что при постоянном векторепри всех(кроме) управлениевыбрано так, что функция Понтрягинаимеет максимальное значение – выполняется п.1) принципа максимума Понтрягина. Как было отмечено раньше, п.2) выполняется автоматически:.

Оптимальное управление имеет вид . Аналогично определяются оптимальное управление и оптимальная траектория при других расположениях точки относительно линии переключения.

2.3.3. Пример.

(в момент маятник отклонен от положения равновесия на угол 0,2 радиан и движется влево со скоростью 1 ед.). Здесь . Можно убедиться, что точкасодержится в полосе управляемости между прямымии, правее линии переключения в верхней полуплоскости.

До линии переключения дойдем по гиперболе семейства (3), проходящей через эту точку, под управлением . Найдем закон движения по такой гиперболе с моментаиз точки:

Закон движения имеет вид:

Гипербола имеет уравнение:

.

Найдем точку её пересечения с линией переключения (7) (у нас )

Найдем момент попадания в эту точку:

.

Теперь найдем закон движения из точки с моментапо линии переключения – гиперболе семейства (4):

Закон движения имеет вид:

Найдем момент попадания в точку назначения(достаточно воспользоваться вторым равенством):

.

Итак, оптимальная траектория имеет вид:

где

оптимальное уравнение

Судя по фазовой траектории на последнем рисунке, управление движением маятника происходит так:

В момент , когда включили управление, маятник был отклонен от положения равновесия на угол 0,2 радиан влево и продолжал отклоняться влево со скоростью 1 ед. Чтобы замедлить и остано-

вить его отклонение влево, включили двигатель на полную мощность в направлении вправо. Маятник был остановлен (скорость) при некотором положительном отклонении(слева от положения равновесия). Это – фазовое состояние. Под тем же управлениеммаятник стал приближаться назад к положению равновесия (уже с отрицательной скоростью). Чтобы маятник не перескочил через положение равновесия, в моментуправление было переключено на(для замедления маятника). Это – фазовое состояние. После этого маятник пришел в положение равновесия со скоростью(в момент).