1.3. Вычисление вариации интегрального функционала.

Мы будем рассматривать экстремумы только интегральных функционалов, когда значения функционалов вычисляются с помощью определенного интеграла:

Подынтегральную функцию называют интегрантом функционала. Это сложная функция с промежуточными аргументамикоторые являются функциями от

Так как мы рассматриваем функции , то все функциинепрерывны на. Будем предполагать в дальнейшем, что функциянепрерывна при всехи любых. Тогда интегрант как сложная функция отнепрерывна наи потому интеграл существует. Более того, будем предполагать, что функцияимеет непрерывные частные производные нужных порядков по всем аргументамприи любых. Это обеспечит законность предстоящих вычислений.

Достаточно вычислить вариацию функционала от одной функции

(1)

(В п. 1.1 имели пример такого функционала с интегрантом ), так как вариация функционала от вектор-функциипо аргументувычисляется при фиксированных значениях остальных аргументов, т.е. как вариация функционала от одной функции.

1.3.1. Теорема (о вариации интегрального функционала)

Пусть - некоторое множество допустимых функций. Вариация функционала (1) в точкепри любой допустимой вариацииаргумента существует и равна

(2)

□ Докажем при (придоказательство аналогично). В этом случае. Как было отмечено выше, интеграл присуществует. Надо найти, где

.

Имеем где. Ввиду непрерывностии непрерывности функцийсложная функциянепрерывна прии любых, т.е. в прямоугольнике (бесконечной длины).

Частная производная

также непрерывна в этом прямоугольнике ввиду непрерывности частных производных и непрерывности функций. Поэтому можно согласно теореме Лейбница (1.1.2) дифференцировать попод знаком интеграла:

.

Отсюда ■

1.4. Простейшая вариационная задача

(с закрепленными границами)

Простейшая вариационная задача для функционала для одной функции с первой производной состоит в следующем:

Среди всех функций , удовлетворяющихкраевым условиям (заданные числа), (1)

найти ту функцию, которая доставляет экстремум функционалу

.

В этой задаче допустимые функции – все функции , удовлетворяющие краевым условиям (1). При вычислении вариации рассматривается, поэтому функциятоже должна быть допустимой:,. Для этого допустимая вариациядолжна быть тоже непрерывно дифференцируемой:, причем такой, чтобы(тогда).

Для функционала с одной функцией и с производными до го порядка простейшая задача такова:

Среди всех функций , удовлетворяющихкраевым условиям

, найти ту функцию, которая доставляет экстремум функционалу

.

В этой задаче допустимыми вариациями являются функции, удовлетворяющие краевым условиям

(так как, например, должно быть а для этого надо, чтобы).

Для функционала с функциями и производными дого порядка простейшая задача имеет вид:

Среди всех – мерных вектор - функцийс координатами, удовлетворяющихкраевым условиям

(2)

(- заданные числа) найти ту вектор-функцию, которая доставляет экстремум функционалу

В этой задаче допустимыми вариациями аргументовявляются функции, удовлетворяющие краевым условиям

1.4.1. Теорема (необходимое условие экстремума в простейшей задаче в терминах интегранта)