III. Примеры решения задач.

ВАРИАНТЫ РАСЧЕТНОЙ РАБОТЫ

3.1. Простейшие задачи вариационного исчисления

Пример 1. .

□ (Считаем как функцию трех переменных)

а) ;

б) ;

в) .

Составляем уравнение Эйлера

. Интегрируем дважды:

экстремали (множество кривых).

Используя краевые условия, находим

.

Единственная экстремаль .■

Пример 2. .

□ Уравнение Эйлера

или, с учетом .

Используем краевые условия:

Единственная экстремаль .■

Пример 3. .

□ ,

.

Уравнение Эйлера – Пуассона:

.

Характеристическое уравнение

имеет корни .

Тогда получаем экстремаль функционала

.■

Пример 4.

□. Уравнение Эйлера-Пуассона т.е.тогда,.

Для нахождения коэффициентов используем граничные условия:

Получаем единственную экстремаль

.■

Пример 5. .

.

□ .

Уравнение Эйлера-Пуассона: ,

,

тогда уравнение имеет вид

,

Используем граничные условия:

Единственная экстремаль . ■

Пример 6.

□ ,

.

Получаем систему уравнений Эйлера

Из второго уравнения находим и подставим в первое:

Получили экстремаль данного функционала. ■

Пример 7. , ,,.

□, ,,,

, ,.

Система уравнений Эйлера имеет вид:

Рассмотрим второе уравнение , тогда, аналогично.

Для определения констант используем граничные условия

откуда .

откуда .

Получаем . ■

Пример 8. Найти экстремали функционала

, ,

(т.е. ).

□ Составим функцию Лагранжа:

.

.

.

Система уравнений Эйлера имеет вид:

складываем эти уравнения:

откуда из граничных условий найдем . Тогда. Добавляем уравнения связиоткуда.■

Пример 9. , .

–уравнение связи.

□ .

.

.

Составляем систему

вычитаем: ,, обозначимтогда

т.е. .

Используя граничные условия найдем и:

добавляем уравнение связи: .

Отсюда находим . ■

Пример 10. , ,.

□ Функция Лагранжа .

Система уравнений Эйлера:

Дифференцируем по второе и третье уравнения:

Подставляем второе уравнение в первое:

, ,,,,

.

Из уравнения связи

.

Из граничных условий получаем систему:

Ответ: ■

Пример 11. .

.

□ .

Складываем первое и второе уравнения:

Из граничных условий получаем систему

Добавляем уравнение связи

,

. ■

Пример 12.

□ .

Уравнение Эйлера .

.

Определим .

Так как то .

Тогда .

Постоянные найдем из граничных условий:

Ответ: . ■

Пример 13.

.

□ .

1) Уравнение Эйлера: .

.

2) Определим множитель Лагранжа:

, тогда

3) Общее решение уравнения Эйлера

.

4) Постоянные инайдем из граничных условий

.

Ответ: Два решения .■

Пример 14.

.

□ 1) Уравнения Эйлера

2) Определим и:

откуда ,

, тогда .

3) Решение уравнений Эйлера

4) Найдем постоянные

Ответ:. ■

3.2. Задачи для самостоятельного решения

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6.

7.

8. ,,.

9. ,

10.

11. при условии

12.

при условии

13.

14.

15.

16.

17.

18.

3.3. Варианты заданий: «Простейшие задачи вариационного

исчисления»

Задача 1.

а) Вычислить функционал для заданных функцийи.

б) Написать уравнение Эйлера для функций .

N
1
2				0	2
3				1	2
4				1	2
5
6
7
8
9				0
10				1	2
11				1	2
12				1	2
13				0	1
14				0	1
15				1	2
16				0	1
17				1	2
18				0
19				1	2
20				1	2
21				1	2
22
23				1	2
24
25				0	1

Задача 2.

Найти экстремали функционала

Где номер по списку.

Задача 3.

Найти экстремали, с заданным уравнением связи

номер по списку.