§4. Сложная функция и ее дифференцируемость

4.1. Понятие вектор-функции и композиции функций

Пусть хRⁿ, g_i(x) = g_i(x₁, x₂,…, x_n), i =

Определение 4.1. Отображение g : Rⁿ R^m, значения которого находятся по формуле g(x) = (g₁(x₁), g₂(x₂),…,g_m(x_n)) называется m – вектор-функцией n переменных. Каждая функция g_i(x) называется компонентой вектор-функции g.

Пусть заданы 2 отображения:

f : Rⁿ R (y=f(x)) , g : R^m Rⁿ  x = g(t) = (g₁(t), g₂(t),…,g_n(t) ) -

n – вектор- функция m независимых переменных t.

Определение 4.2. Композиция h= f g называется сложной функцией m переменных со значениями h(t)= f(g(t)) = f (g₁(t), g₂(t),…,g_n(t) ),t R^m.

Другими словами: сложная функция – отображение

h : R^m Rⁿ R  h : R^m R.

Например, f (u,v) = u² + v² , g(x,y)=(x+y, xy) h = f(g(x,y))=(x + y)² +(xy)³, где u = x+y, v = xy .

Замечание 4.1. Т.к. сложную функцию можно рассматривать как композицию отображений метрических пространств, то для нее имеет место теорема о непрерывности сложной функции.

Теорема 4.1. Пусть имеем отображения f : Rⁿ R, g : R^m Rⁿ.

Если g – непрерывное отображение в точке х₀R^m, f - непрерывное отображение в точке g( х₀)Rⁿ, то композиция h= f g - непрерывная функция в точке х₀R^m, т.е.

4.2. Дифференцируемость сложной функции

Лемма. Пусть функции и – функции одной переменной t и дифференцируемые в точке . Если функция дифференцируема в точке М₀ , тогда сложная функция дифференцируема в точке и ее производная в этой точке

(4.1)

Из дифференцируемости функции в точке м0 следует , что ее приращение

z(M₀)= f(M₀) = x + x+ x + у,

Где ,  0, еслиX, у0.

Разделим обе части равенства на t:

и перейдем к пределу при t0. Т.к. , - const, а и непрерывны в точке в силу их дифференцирумости, то при t0 : х0,у0  ,  0. Т.е. будет существовать производная и для нее будет справедлива формула (4.1).

Теорема 4.1. Если функции и дифференцируемы в точке , и, следовательно, имеют в этой точке частные производные , , а функция дифференцируема в точке , где , , то в точке существуют и частные производные и сложной функции , которые находятся по формулам:

, (4.2)

. (4.3)

зафиксировав v, получим, что х и у – функции одной переменной u, удовлетворяющие условию леммы, тогда формула (4.2) получится из формулы (4.1) , если вместо t подставить и. Аналогично получается (4.3).

Пример:

4.3.Инвариантность формы дифференциала

Пусть функция дифференцируема в точке М₀ . Тогда

dz(x₀ ,у₀) = dz(M₀) = dx + dy. (4.4)

Пусть сложная функция дифференцируема в точке С и df(С) = du + + dv. Подставим из формул (4.2) и (4.3) значения и и получим

df(С)= + du + + dv=

= ( du+ dv) + ( du + dv).

Выражение в первых скобках есть dx, в других - dу. Поэтому

df(С)= dx + dy. (4.5)

Сравнив правые части равенств (4.4) и (4.5) видим, что формы записи дифференциала функции 2-х переменных и сложной функции 2-х переменных одинаковые. В этом и заключается инвариантность формы дифференциала первого порядка.

Смысл их разный, т.к. в формуле (4.4) dx =x и dу = y - приращения переменных, а в формуле (4.5) – дифференциалы функций х и у.