§9. Экстремумы функции двух переменных

9.1. Локальный экстремум

Определение 9.1. Точка (х₀,y₀) называется точкой локального максимума (минимума) функции z = f(x ,у), если существует такая окрестность точки (х₀,y₀), что для любого точки (х,y) из этой окрестности выполняется неравенство:

(9.1)

Определение 9.2. Значения функции в точках локального максимума или минимума называются соответственно локальным максимумом (max) и локальным минимумом (min) или локальными экстремумами.

Замечание 9.1. неравенства (9.1) равносильны следующим неравенствам:

(9.2)

Примеры 9.1. 1) - параболоид вращения. Точка О(0,0) – точка локального min;

2) - параболоид вращения. Точка О(0,0)- точка локального max;

3) - полусфера. Точка О(0,0)- точка локального max;

4) . Будет ли т. О(0,0)- точкой локального экстремума?

, если х и у одного знака, , если х и у разных знаков. Вывод: т.к. приращение функции имеет разные знаки в любой окрестности точки О(0,0), то точка О(0,0) не является точкой локального экстремума.

Теорема 9.1 (необходимое условие экстремума). Если функция f имеет локальный экстремум в точке (х₀,y₀) и в этой точке существуют частные производные, то обе частные производные и равны 0 в этой точке:

, . (9.1)

Рассмотрим функцию одной переменной . х₀ – точка экстремума функции , а значит Аналогично для функции у₀ – точка экстремума функции 

Замечание 9.2. Если функция f дифференцируема в точке (х₀,y₀), то df(x,y)=0.

Замечание 9.3. Если (х₀,y₀) – точка экстремума, то касательная плоскость, которая проходит через точку М₀(х₀,y₀,z₀) , параллельна плоскости xOy и ее уравнение z = z₀.

Замечание 9.4. Условия (9.1) является необходимым, но не достаточными.

Пример 9.2. Для функции z = xy . Но раньше мы показали, что точка (0,0) не является точкой экстремума.

Примем без доказательства теорему.

Теорема 9.2 (достаточное условие экстремума). Пусть точка (х₀,y₀) – критическая точка функции z = f(x ,y) (т.е. точка, в которой все частные произ­водные существуют и равны 0). Пусть функция f имеет непрерывные частные производные 2-го порядка в окрестности этой точки и . Тогда , если  > 0, то (х₀,y₀) – точка экстремума: а) max, если А < 0, б) min, если А > 0. Если  < 0, то в точке (х₀,y₀) экстремума нет, если  = 0, то требуются дополнительные исследования.

9.2. Абсолютный экстремум

Пусть функция z = f(x ,y) дифференцируема в замкнутой ограниченной области D (на компакте D). Из теоремы 3.1 следует, что функция f непрерывна на множестве D. Поэтому по второй теореме Вейерштрасса на этом множестве она принимает свое наименьшее и наибольшее значения .

Определение 9.3. Точки, в которых функция принимает свое наибольшее и наименьшее значения, называются точками абсолютного экстремума (т. max или т. min). Значения функции в этих точках – абсолютный max и min.

Ясно, что наибольшее (наименьшее) значение функция может принимать либо во внутренних точках области D, тогда оно совпадает с локальным max (min), или на границе этой области. Отсюда следует правило нахождения абсолютного экстремума (по аналогии с правилом Ферма для функции одной переменной).

Алгоритм для нахождения абсолютного экстремума:

1) найти критические точки внутри области D и вычислить значения функции в этих точках;

2) найти критические точки на границе области D и вычислить значения функции в этих точках;

3) из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее значения.