- •Глава 2. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •§1.Понятие функции нескольких переменных
- •§2.Предел и непрерывность функции нескольких переменных
- •2.1. Предел функции нескольких переменных
- •2.2. Непрерывность функции нескольких переменных
- •§3. Дифференцируемость функции нескольких переменных
- •3.1. Частные производные (ч.Пр.) функции двух переменных
- •Механический смысл частных производных
- •Геометрический смысл частных производных функции 2-х переменных
- •3.2. Понятие о дифференцирумости функции 2-х переменных
- •3.3. Дифференциал функции нескольких переменных. Приложение к приближенным вычислениям
- •3.4.Касательная плоскость к графику функции двух пременых Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных
- •§4. Сложная функция и ее дифференцируемость
- •4.1. Понятие вектор-функции и композиции функций
- •4.2. Дифференцируемость сложной функции
- •Из дифференцируемости функции в точке м0 следует , что ее приращение
- •Где , 0, еслиX, у0.
- •4.3.Инвариантность формы дифференциала
- •§5. Производная по направлению. Градиент
- •§6. Неявные функции
- •§7.Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •§8. Формула Тейлора для функции двух переменных
- •§9. Экстремумы функции двух переменных
- •9.1. Локальный экстремум
- •9.2. Абсолютный экстремум
- •9.3. Условный экстремум
- •Глава 3. Интегральное исчисление функций нескольких переменных §1. Двойной интеграл и его свойства.
- •1.1. Понятие двойного интеграла
- •1.2. Свойства двойного интеграла
- •1.3. Вычисление площадей фигур и объемов тел с помощью двойных интегралов
- •§2. Вычисление двойных интегралов
- •Пример 2.3. Поменять порядок интегрирования в интеграле §3. Замена переменных в двойном интеграле
- •§4.Площадь гладкой поверхности
- •§5. Тройной интеграл и его свойства
- •5.1. Определение тройного интеграла и его свойства
- •Свойства тройного интеграла
- •Геометрический смысл тройного интеграла
- •5.2. Вычисление тройного интеграла
- •§6. Замена переменных в тройном интеграле
- •Цилиндрические координаты
- •Сферические координаты
- •Глава 4. Криволинейные интегралы
- •1.1. Понятие криволинейного интеграла
- •1.2. Свойства криволинейного интеграла
- •1.3. Существование и вычисление криволинейного интеграла
- •§2. Формула Остроградского – Грина
- •Формула (2.3), связывающая криволинейный интеграл с двойным, называется формулой Остроградского – Грина.
- •§3 .Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
- •§4. Восстановление функции по ее полному дифференциалу
- •1 Способ
5.2. Вычисление тройного интеграла
Как и для двойного интеграла, вычисление тройного интеграла сводится к вычислению повторных интегралов.
Пусть функция определена на теле Е, причем проекция тела Е на плоскость хОу – квадрируемая фигура Рху; тело E ограничено: сверху графиком функции f1(x,y), снизу графиком функции f2(x,y), со сторон цилиндрической поверхностью, направляющая которой – граница области Рху, а образующие параллельны оси Oz. Тогда
= ,(5.1)
где внутренний интеграл.
Если проекция тела Е на плоскость xOz - квадрируемая область Pxz, тело Т ограничено: сверху графиком функции f1(x,z), снизу графиком функции f2(x,z), со сторон цилиндрической поверхностью, направляющая которой – граница области Рхz, а образующие параллельны оси Oy. Тогда
= .(5.2)
Аналогично, если тело Е спроектировано на плоскость yOz и его проекция квадрируемая область Рyz, то
= (5.3)
Пример.
§6. Замена переменных в тройном интеграле
Пусть заданы два прямоугольные декартовые пространства и .И соответственно в них замкнутые кубируемые тела Е и G.
Пусть задано отображение так, что = = . Т.е. является вектор-функцией 3-х компонент, каждая из которых является функцией 3-х переменных, причем :
1) взаимно однозначно на G;
2) g и непрерывные функции на G и Е соответственно;
3) Компоненты функции g , т.е. функции , , , непрерывные вместе со своими частными производными, а якобиан не равен нулю:
.
Замечание 5.1. Рассмотренное нами отображение называется регулярным. Можно доказать, что при регулярном отображении образом гладкой поверхности является гладкая поверхность; образом границы – граница; образом области является область, а также имеет место следующая теорема (без доказательства).
Теорема 5.1. Если функция f непрерывна на теле Е и Е = -- регулярное отображение тела на тело Е, где тела Е и G – замкнутые кубируемые, то имеет место равенство
= (6.1)
,которое называют формулой замены переменных в тройном интеграле.
Тройка чисел однозначно характеризует положение точки в пространстве 0xyz и называется криволинейными координатами этой точки. Поверхности в пространстве 0xyz, которые определяются равенствами v=const, u=const, w=const, называются координатными поверхностями. Через каждую точку области Е проходит по одной поверхности из каждой семьи координатных поверхностей.
Рассмотрим два частных случая криволинейных координат в пространстве R3, которые широко применяются при вычислении тройных интегралов методом замены переменных.
Цилиндрические координаты
Пусть точка М в прямоугольной декартовой системе координат 0xyz имеет координаты . Задавая проекцию точки М на плоскость 0xy при помощи полярных координат (r, ), положение точки М единственным образом определяется при помощью трех чисел , которые называются цилиндрическими координатами точки М.
Если полярная ось совпадает с положительным направлением оси 0х, то формулы:
,
, (6.2)
z=z , , ,
задают связь между цилиндрическими и декартовыми координатами.
Координатной поверхностью в цилиндрической системе координат являются: цилиндрические поверхности r=const, полуплоскости =const, проходящие через ось 0z, и плоскости z=const, параллельные х0у.
Пусть система координат регулярно отображается на систему координат 0xyz по формулам (6.2), т.е. , тогда якобиан этого отображения:
,
тогда по формуле (6.1)
=
Замечание 5.2. Если область Е в пространстве 0xyz можно задать в цилиндрических координатах неравенствами , , то тройной интеграл приводится к повторному интегралу
= (6.3)