Глава 3. Интегральное исчисление функций нескольких переменных §1. Двойной интеграл и его свойства.

1.1. Понятие двойного интеграла

Пусть на плоскости х0у задана квадрируемая замкнутая ограниченная область Р (квадрируемый компакт), на которой определена функция z=f(x,y).

И пусть Т есть разбиение области Р на квадрируемые части Р_к (к= ), не имеющих общих внутренних точек. Назовем диаметром фигуры Р_к число , т.е наибольшее из расстояний между точками фигуры Р_к . Диаметром Т-разбиения T назовем T = max_k, (k= ).

В каждой частичной области Р_к (к= ) выберем произвольную точку . Сумма , дзе - площадь области Р_{к ,} называется интегральной суммой функции f(x,y) на области Р, соответствующей выбранному Т-разбиению и выбору точек (_k_k)P_k

Определение 1. Число I называется пределом интегральной суммы при , если для любого существует такое число , что при любом Т-разбиении и при любом выборе точек , выполняется неравенство

Определение 1.1. Если существует конечный предел I интегральной суммы при ()0

, (1.1)

то функцию f называют интегрируемой по области Р, а число I – двойным интегралам Римана от функции f по области P и обозначают :

.

Заметим, что на части Р_к мы не накладываем никаких ограничений, кроме квадрируемости и отсутствия у них общих внутренних точек. Эти ограничения обеспечивают правдивость равенства:

(1.2),

где есть площадь всей фигуры Р.

Отметим также, что ограниченность функции f(x,y) на области Р есть необходимое условие ее интегрируемости. Доказательство этого утверждения не отличается от доказательства соответствующей теоремы для интеграла Римана от функции одной переменной.

Пусть функция f(x,y) ограниченная в области Р, а m_k и M_k –нижняя и верхняя границы множества значений функции f в частичной области Р_к . Суммы , , которые однозначно определяются разбиением Т, будем называть соответственно нижней и верхней суммами Дарбу. Эти суммы имеют те же самые свойства, что и суммы Дарбу для функции одной переменной. Все доказательства остаются прежними, только длины частичных отрезков заменяются площадями частичных областей. Аналогично доказывается также критерий интегрируемости функции f(x,y), который мы приводим без доказательства.

Теорема 1.1.Ограниченная на квадрируемой области функция f(x,y) интегрируема по Риману, тогда и только тогда, когда .

Важный вывод из этого критерия – интегрируемость непрерывных функций.

Теорема 1.2.Если функция z=f(x,y) непрерывна в квадрируемом компакте Р, то она интегрируема на нем.

Теорема 1.3. Если функция z=f(x,y) ограничена в квадрируемом компакте Р и непрерывна на нем за исключением лишь точек кривых фигуры Р, имеющих нулевую площадь, то она интегрируема на Р.

1.2. Свойства двойного интеграла

1. Если площадь квадрируемого компакта Р равна нулю, то .

2. Свойство линейности. Если f и g интегрируемы на квадрируемой области Р, а и - произвольные действительные числа, то и функция - интегрируема на Р, причем:

. (1.4)

3. Свойство аддитивности. Если функция f интегрируема на Р

P = P₁P₂, где P₁ и P₂ не имеют общих внутренних точек, то:

(1.5)

4. Свойство сравнения. Если f и g интегрируемы на области Р функции и , то . (1.6)

5. Оценка модуля интеграла. Если функция f(x,y) интегрируема на области Р, то функция также интегрируема на Р и (1.7)

6. Оценка двойного интеграла. Если функция f(x,y) интегрируема на области Р и , , то

(1.8)

7. Теорема о среднем. Пусть функции f и g непрерывны в области Р, а функция g не меняет знак на Р, то существует такая точка , что

Частный случай:

Если функция f(x,y) непрерывна на квадрируемой связной замкнутой области Р, то существует точка такая, что:

. (1.9)