- •Глава 2. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •§1.Понятие функции нескольких переменных
- •§2.Предел и непрерывность функции нескольких переменных
- •2.1. Предел функции нескольких переменных
- •2.2. Непрерывность функции нескольких переменных
- •§3. Дифференцируемость функции нескольких переменных
- •3.1. Частные производные (ч.Пр.) функции двух переменных
- •Механический смысл частных производных
- •Геометрический смысл частных производных функции 2-х переменных
- •3.2. Понятие о дифференцирумости функции 2-х переменных
- •3.3. Дифференциал функции нескольких переменных. Приложение к приближенным вычислениям
- •3.4.Касательная плоскость к графику функции двух пременых Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных
- •§4. Сложная функция и ее дифференцируемость
- •4.1. Понятие вектор-функции и композиции функций
- •4.2. Дифференцируемость сложной функции
- •Из дифференцируемости функции в точке м0 следует , что ее приращение
- •Где , 0, еслиX, у0.
- •4.3.Инвариантность формы дифференциала
- •§5. Производная по направлению. Градиент
- •§6. Неявные функции
- •§7.Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •§8. Формула Тейлора для функции двух переменных
- •§9. Экстремумы функции двух переменных
- •9.1. Локальный экстремум
- •9.2. Абсолютный экстремум
- •9.3. Условный экстремум
- •Глава 3. Интегральное исчисление функций нескольких переменных §1. Двойной интеграл и его свойства.
- •1.1. Понятие двойного интеграла
- •1.2. Свойства двойного интеграла
- •1.3. Вычисление площадей фигур и объемов тел с помощью двойных интегралов
- •§2. Вычисление двойных интегралов
- •Пример 2.3. Поменять порядок интегрирования в интеграле §3. Замена переменных в двойном интеграле
- •§4.Площадь гладкой поверхности
- •§5. Тройной интеграл и его свойства
- •5.1. Определение тройного интеграла и его свойства
- •Свойства тройного интеграла
- •Геометрический смысл тройного интеграла
- •5.2. Вычисление тройного интеграла
- •§6. Замена переменных в тройном интеграле
- •Цилиндрические координаты
- •Сферические координаты
- •Глава 4. Криволинейные интегралы
- •1.1. Понятие криволинейного интеграла
- •1.2. Свойства криволинейного интеграла
- •1.3. Существование и вычисление криволинейного интеграла
- •§2. Формула Остроградского – Грина
- •Формула (2.3), связывающая криволинейный интеграл с двойным, называется формулой Остроградского – Грина.
- •§3 .Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
- •§4. Восстановление функции по ее полному дифференциалу
- •1 Способ
1.3. Вычисление площадей фигур и объемов тел с помощью двойных интегралов
Пусть Р – квадрируемый компакт, проведем Т - разбиение области Р на квадрируемые части Рк (к= ) без общих внутренних точек с диаметром разбиения , тогда имеет место равенство (1.2).
Теорема 1.4.(о вычислении площади). Если Р -- квадрируемый компакт, то его площадь можно вычислить по формуле:
(1.11)
Рассмотрим на Р функцию f(x,y)=1, которая интегрируема на Р (в силу непрерывности). Тогда = = .
Пусть на квадрируемой замкнутой области Р задана непрерывная и неотрицательная функция f.
Определение 1.2. Тело, ограниченное снизу областью Р, сверху – графиком функции f, а с боковых сторон – цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси 0z и направляющей, которая является границей области Р, называется цилиндрическим телом.
Теорема 1.5. Цилиндрическое тело является кубируемым телом и его объем можно вычислить по формуле:
. (1.12)
При доказательстве теоремы будем пользоваться необходимым и достаточным условием кубируемости:
для того, чтобы тело G было кубируемым необходимо и достаточно, чтобы существовали две последовательности кубируемых тел ’, ″, которые соответственно содержатся в G и содержат G и таких, что .
Разделим область Р на квадрируемые части Рк (к= ) без общих внутренних точек. Т.к. на каждом квадрируемом компакте Рк функция f непрерывная, то (согласно 2 теоремы Вейерштрасса) она достигает соответственно наименьшего и наибольшего значений на этом компакте: и . Построим на Рк два прямых цилиндра с высотами и соответственно. Тогда (согласно теореме о вычислении объема прямого цилиндра) объемы построенных цилиндров будут соответственно равны и . Аналогично рассмотрим каждую область Рк (к= ). Таким образом, мы построим две последовательности кубируемых тел ’ и ″, которые имеют следующие объемы:
V( ’)= (1.13),
V( ″)= (1.14)
Отметим, что суммы (1.13) и (1.14) – интегральные суммы непрерывной функции f на компакте Р, поэтому: .
Выводом теоремы 1.5 является геометрический смысл двойного интеграла: двойной интеграл от неотрицательной непрерывной функции геометрически выражает собой объем цилиндрического тела.
§2. Вычисление двойных интегралов
Определение 1.3
Областью первого типа называется фигура в плоскости х0у, которая задается следующим образом:
, где f1(x) и f2(x)–непрерывные на функции;
Областью второго типа называется фигура в плоскости х0у, которая задается следующим образом: , где g1(у) и g2(у) -- непрерывные на функции.
С областями 1-го и 2-го типов тесно связаны повторные интегралы соответственно:
; (2.1)
. (2.2)
Интегралы, стоящие в скобках, называются внутренними, и вычисление повторного интеграла производится в следующем порядке: вычисляется сначала внутренний интеграл , а затем как обычный определенный интеграл.
Пример 2.1.
Теорема 2.1. Пусть функция z = f(x,y) непрерывная на квадрируемом компакте Р, тогда:
1. Если область Р – область первого типа, то
= . (2.3)
2. Если область Р – область второго типа, то
= . (2.4)
Докажем равенство (2.3). Построим цилиндрическое тело G – тело С, ограниченное: 1) снизу компактом Р – областью первого типа, 2) сверху графиком функции z = f(x,y), 3) со сторон цилиндрической поверхностью с направляющей, которая является границей области Р.
С одной стороны по т.1.5 . С другой стороны объем тела С равен (2.5), где S(x) – площадь фигуры, полученной в сечении тела плоскостью, проходящей через точку с абсциссой х перпендикулярно оси Ох.
Спроектируем сечение на плоскость yOz. Проекция – криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции z = f(x,y), прямыми y=f1(x) , y = f2(x) и z=0, тогда
S(x) = . (2.6)
Подставим (2.6) в (2.5) и получим формулу для вычисления объема тела G:
V(G) = = = .
Аналогично доказывается формула (2.4).
Замечание 2.1.Если область Р не является областью либо 1-го, либо 2-го типа, то тогда с помощью прямых, параллельных оси ОХ и ОУ, ее разбивают на конечное число областей 1-го и 2-го типов и пользуясь свойством аддитивности и формулами (2.3), (2.4) по каждой из полученных областей, вычисляют двойной интеграл с помощью повторных.
Замечание 2.2. Иногда при вычислении повторного интеграла удобно перейти от повторного интеграла по области одного типа к повторному интегралу по области другого типа. Такой переход называют заменой порядка интегрирования в повторном интеграле.
Пример 2.1. Найти двойной интеграл , где область Р ограничена кривыми: y = x, y= , x = 2.
Пример 2.2. Найти двойной интеграл , где область Р ограничена кривыми: y = x, .