9.3. Условный экстремум

На практике приходится решать задачи на нахождение экстремумов функции, переменные которых должны удовлетворять некоторому условию.

Пример 9.3. из всех параллелепипедов, вписанных в сферу , найти тот, у которого объем наибольший .

Если положить x>0, y>0, z>0 (1 октант), то (8 равновеликих частей), где переменные должны удовлетворять уравнению (уравнение связи). Необходимо найти экстремум функции, которая удовлетворяет этому условию.

Каждую такую задачу можно решать так: из уравнения связи выразить функцию через другие переменные и подставив в формулу функции, находить экстремум обычной функции. Но на практике явно выразить эти функции, как правило, не удается, поэтому требуется найти другие методы решения этих задач.

Для решения такой задачи будем пользоваться понятием точки условного экстремума.

Определение 9.4. Точка М₀(х₀,y₀,z₀) называется точкой условного max (min) функции 3-х переменных (9.2) с уравнением связи (9.3),если существует  - окрестность точки М₀: такая, что для каждой точки М(х,y,z) , удовлетворяющей уравнению (9.3), выполняется условие

( ). (9.4)

Замечание 9.5. Определение точки локального экстремума отличается от определения точки условного экстремума тем, что в первом случае неравенства (9.4) выполняются в любой точке окрестности , в другом – в каждой точке , переменные которой удовлетворяют условию (9.3).

При нахождении точек условного экстремума пользуются правилом Лагранжа:

Составляют функцию Лагранжа +  и точки, по­дозрительные на экстремум, находят из системы

Покажем, что эта система является необходимым условием условного экстремума.

Пусть дана функция (9.2) и уравнение связи (9.3). Пусть в некоторой точке М₀(х₀,y₀,z₀) функция (9.2) имеет экстремум. Также пусть функция удовлетворяет условиям т.6.1 (о существовании неявной функции), т.е. уравнение (9.3) определяет неявно функцию в некоторой окрестности точки А₀(х₀,y₀). Тогда функция u примет вид , и точка А₀(х₀,y₀) – точка локального экстремума  по необходимому условию экстремума для функции 2-х переменных, что

,  df(x,y)=0. (9.5)

Т.к. функция сложная, используем свойство инвариантности формы дифференциала 1-го порядка и запишем равенство (9.5) в виде

dz(M₀) = dx + dy+ dz=0. (9.6)

В формулу (9.6) dx, dy – cоnst, dz – дифференциал функции . Т.к. в уравнение (9.3) определяет неявно функцию , то имеет место тождество .

Поэтому dF(M₀) = dx + dy+ dz=0. (9.7)

Умножив равенство (9.7) на  и сложив с (9.6), получим уравнение:

+ + .

Будем подбирать так, чтобы выражение в третьих скобках было равно 0, т.е.

. (9.8)

Поэтому будем иметь

+ + . (9.9)

Т.к. dx и dy – произвольные константы, то левая часть (9.9) тождественно равна правой тогда и только тогда, когда

(9.10) и . (9.11)

Если еще добавить равенство F(х₀,y₀,z₀) = 0 (9.12) (точка условного экстремума удовлетворяет уравнению связи), то из системы уравнений (9.8), (9.10), (9.11), (9.12) можно найти числа х₀, y₀, z₀ и , т.е.можно найти координаты т. М₀, в которой функция имеет условный экстремум. 

Замечание.9.6. Для решения задач на условный экстремум будем пользоваться следующим алгоритмом:

1) составим функцию Лагранжа +  ; (9.13)

2) составим систему уравнений:

(9.14)

3) решение системы – точки, подозрительные на экстремум;

4) если задача имеет смысл и точка, подозрительная на экстремум единственная, то она и будет решением задачи.

Замечание.9.7. Если точек, подозрительных на экстремум несколько, то для функции Лагранжа надо найти, так называемую, квадратичную форму: d²(x₀ ,у₀,z₀,). Если d²(x₀ ,у₀,z₀,)>0, то М₀ – точка условного min, если d²(x₀ ,у₀,z₀,)<0, то М₀ – точка условного mах.

Вернемся к решения примера 9.3.

Составим функцию , уравнение связи и функцию Лагранжа +

Система (9.14) имеет вид:

 Получили единственную точку М₀(х₀,y₀,z₀) и задача имеет смысл  - точка условного экстремума.