§2.Предел и непрерывность функции нескольких переменных

2.1. Предел функции нескольких переменных

Т.к. функция n переменных – отображение метрического пространства Rⁿ с метрикой  в метрическое пространство R, то для этого отбражения существуют понятия предела и непрерывности, введенные в гл. “Метрические пространства”.

Пусть функция f (х₁,х₂,…, х_n) определена на множестве D(f) Rⁿ. Пусть

- предельная точка множество D(f).

Определение 2.1 (по Гейне). Число а называется пределом функции f в точке х₀, если для любой сходящейся к точке х₀ последовательности (х_k), элементы которой х_k D(f) и не равны х₀, соответствующая числовая последовательность (f(х_k)) сходится к числу а,если k.

Обозначается предел функции f в точке х₀ как

или , если .

Замечание 2.1. В этом определении мы пользуемся необходимым и достаточным условием покоординатной сходимости последовательности в пространстве Rⁿ (гл.1, §5, т.5.1), а именно

Теорема (о покоординатной сходимости последовательности в метрическом пространстве R^m). Для того, чтобы последовательность (х_n ) точек метрического пространства R^m, где (х_n =(х₁⁽ⁿ⁾,х₂⁽ⁿ⁾,…, х_m⁽ⁿ⁾)), сходилась к точке а =(а₁,а₂,…, а_m) этого пространства, необходимо и достаточно чтобы числовые последовательности (х₁⁽ⁿ⁾), (х₂⁽ⁿ⁾),…,(х_m⁽ⁿ⁾) сходились соответственно к числам а₁,а₂,…, а_m :

, ,...,

Если выполняются условия Т. 5.1, то говорят, что последовательность (х_n) сходится к точке а покоординатно.

Определение 2.2. (по Коши) Число а называется пределом функции f в точке х₀, если для любого числа 0 существует соответствующее ему число , такое что для каждой точки х из D(f) , которая удовлетворяет условию  x,x₀, выполняется неравенство f(x)-a.

Сформулированные определения символично записываются следующим образом.

Определение 2.1*.

 (x_k) | , x_kD( f ), x_k x_o  .

Определение 2.2*.

(0)( ())( xD( f ) |0<  (x,x_o)) 

Аналогично, как и в случае функции одной переменной, можно доказать эквивалентность определений 2.1 и 2.2.

Сформулируем теоремы о пределе функции, аналогичные тем, которые были даны для функции одной переменной.

Теорема 2.1.Если функция f имеет предел в точке х₀, то этот предел единственный.

Теорема 2.2. (Критерий Коши) Для существования предела функции f в точке х₀ необходимо и достаточно , чтобы

 , 

.

Теорема 2.3. Пусть функции f и g - функции с общей областью определения D и пусть существуют =a и , тогда для  существуют , и (где ), причем выполняются следующие равенства:

, , .

Определение 2.4. Число а называется пределом функции f(х), где , если

Обозначение: .

Определение 2.5. Функция y = f(x) называется бесконечно малой функцией в точке х₀ (при ), если ( ).

Рассмотрим функцию 2-х переменных z = f(x,y). Пусть М₀(x₀,y₀) – предельная точка D(f).

Определение 2.6 (по Гейне). Число а называется пределом функции f в точке М₀, если для любой сходящейся к точке М₀ последовательности точек (М_k(x_k,y_k)), элементы которой удовлетворяют условиям: М_k D(f) и не равны М₀, соответствующая последовательность значений функции (f(М_k)) сходится к числу а,если k.

Определение 2.7 (по Коши или на языке   ). Число а называется пределом функции f в точке М₀, если для любого числа 0 найдется соответствующее ему число , такое что для каждой точки М(x,y) из D(f) , которая удовлетворяет условию  M,M₀, имеет место неравенство f(x,y) - a .

Замечание 2.1. Неравенство  M,M₀ 

Предел функции z = f(x,y) двух переменных в точке (x₀,y₀) обычно обозначают

Пример 2.1. Используя теорему 2.3, вычислить предел функции в точке М₀(1,2).

Если предельная точка M₀  D(f) и при вычислении предела получается неопределенность типа , то необходимо исследовать существование предела функции в точке х₀. Для этого используем определение предела функции по Гейне. Устремим последовательность точек М_k(x_k,y_k) к точке М₀(x₀,y₀) по различным прямым в декартовых координатах или используем полярные координаты.

Пример 2.2. Вычислить предел функции z = в точке О(0,0) (предполагается, что предел существует).

Решение. Точка О(0,0)  D(f). Пусть последовательность точек М_k(x_k,y_k) стремится к точке О(0,0) по прямым y =сх, с-любое число. Тогда = ( если ) = = = 3.

Таким образом, последовательность значений функции (f(М_k))  3, если , и не зависит от коэффициента с (т.е. предел функции по прямым).

Пример 2.3. Исследовать существование предела функции z = в точке О(0,0). Точка О(0,0)  D(f). Перейдем к полярным координатам по формулам

x = cos , y = sin.

Если , , то   0. Тогда

= = = sin 2.

Предел функции зависит от угла . Таким образом последовательность (f(М_k)), если , стремится к разным пределам, и поэтому предел функции не существует.

Для функции нескольких переменных можно определить понятие предела по одной переменной x_i при фиксированных значениях остальных переменных.

Рассмотрим функции двух переменных z=f(x,y). Пусть это функция задана в некоторой прямоугольной окрестности точки : , , за исключением самой точки . Обозначим эту окрестность следующим образом:

.

И пусть для каждого фиксированного y, которое удовлетворяет условию , существует предел функции одной переменной х в точке х₀: = (y). Пусть, кроме того, функция (y) также имеет предел в точке : . Поэтому в этом случае говорят, что существует предел, который называют повторным пределом для функции z=f(x,y) в точке . Обозначается он следующим образом:

.

В такой записи называется внутренним пределом.

Аналогично можно определить повторный предел , где - внутренний.

Докажем достаточное условие равенства повторных пределов.

Теорема 2.1. Пусть в точке существует предел функции z=f(x,y) и он равен с; для каждого фиксированного х, , существует (х) = и для каждого фиксированного у , , существует предел (у) = Тогда существуют повторные пределы и , причем каждый из них равен с.

Пример 2.4.Вычислить повторные пределы функции:

. D(f) = R².

Решение. Очевидно, что . Рассмотрим повторные пределы:

и

.

Они не существуют,т.к. внутренние пределы не существуют. Таким образом, получили, что просто предел существует, но повторные не существуют.

Пример 2.5. .Вычислить повторные пределы функции.

. D(f) = R²\{(0,0) }.

Решение.Доказать самостоятельно, что предел функции не существует.

;

; .

Вывод. На основании примеров можно отметить, что из существования предела функции в данной точке не следует существование и равенство повторных пределов в этой точке и наоборот.