36. Способы противодействия автокорреляции.

Возможно, вам удастся устранить автокорреляцию путем определения ответ­ственного за нее фактора или факторов и соответствующего расширения урав­нения регрессии. Когда такое возможно, это может оказаться наилучшим ре­шением.

В других случаях процедура, которую следует принять, будет зависеть от ха­рактера зависимости между значениями случайного члена. В литературе наиболь­шее внимание уделяется так называемой авторегрессионной схеме первого по­рядка, так как она интуитивно правдоподобна, но для того, чтобы было целесообразным ее использование в более сложных моделях, оснований обыч­но не хватает. Вместе с тем если наблюдения проводятся ежеквартально или ежемесячно, могут оказаться более подходящими другие модели, но мы не будем их здесь рассматривать.

Если бы уравнение было правильной спецификацией для измерения величины случайного члена, то вы могли бы полностью устранить автокорре­ляцию, если бы знали величину ρ. Это будет продемонстрировано на примере уравнения регрессии, включающего только одну объясняющую переменную, од­нако при большем их числе действует тот же принцип. Предположим, что истинная модель задается выражением, так что наблюдения t и t — 1 формируются как

Теперь вычтем из первого уравнения второе, умноженное на ρ, и получим

:

Обозначим:

Тогда преобразованное уравнение

где , не содержит автокорреляцию, поскольку u_t независимы.

Метод Кокрана—Оркатта представляет собой итеративный процесс, вклю­чающий следующие этапы.

1. Оценивается регрессия с исходными непреобразованными дан­ными.

1. Вычисляются остатки.

2. Оценивается регрессионная зависимость e_t от е_t-1, соответствующая формуле и коэффициент при e_t-1 представляет собой оценку ρ (поскольку D(e_t-1)≈D(e_t),в качестве альтернативной оценки ρ можно принять коэффициент автокорреляции первого порядка r_e-1,e)

2. С этой оценкой ρ к преобразованному уравнению применяется МНК, который позволяет получить пересмотренные оценки α и β.

Повторно вычисляются остатки, и процесс возвращается к этапу 3.

Метод Хилдрета—Лу, также широко применяемый в регрессионных пакетах, основан на тех же самых принципах, но использует другой алгоритм вычисле­ний. Здесь преобразованная регрессия оценивается для каждого значения ρ из определен­ного диапазона с заданным шагом внутри его. (Например, исследователь мо­жет задать диапазон от ρ = —1,00 до ρ= 1,00 с шагом 0,01.) Значение, которое дает минимальную стандартную ошибку для преобразованного уравнения, при­нимается в качестве оценки ρ, а коэффициенты регрессии определяются при оценивании уравнения с использованием этого значения.

37. Стохастические объясняющие переменные. Последствия ошибок измерения.

Основные идеи экономики — взаимосвязь между экономическими переменными. Спрос на товар на рынке рассматривается как функция его вены. Затраты на изготовление какого-либо продукта — функция от объе­ма производства. Потребительские расходы — функция дохода и т.п. Это примеры взаимосвязей между двумя переменными, одна из которых (спрос на товар, производственные затраты, потребительские расходы) является объясняемой переменной (результирующим показателем), а другие — объясняющими переменными (факторы-аргументами).

Как правило, в каждое такое соотношение приходится вводить несколько объясняющих переменных и остаточную случайную составляющую, отражающую влияние на результирующий показатель всех неучтенных факторов. Например, спрос на товар можно рассматривать как функцию его цены, потребительского дохода и цен на конкурирующие и дополняющие товары. Производственные затраты зависят от объема производства, его динамики, цен на основные производственные ресурсы. Потребительские расходы — функция дохода, ликвидных активов и предыдущего уровня потребления.

Участвующая в каждом из этих соотношений случайная состав­ляющая, отражающая влияние на результирующий показатель всех неуч­тенных факторов, обусловливает стохастический характер зависимости: даже зафиксировав значения объясняющих переменных (например, цена на сам товар и на конкурирующие с ним или дополняющие товары, а также потребительский доход), мы не можем ожидать однозначно, каким будет спрос на данный товар. Иначе говоря, переходя в своих наблюдениях спроса от одного временного (или пространственного) промежутка к дру­гому, мы увидим случайное варьирование спроса около некоторого оп­ределенного уровня даже при фиксировании всех объясняющих перемен­ных.Допустим, переменная у зависит от переменной z, что задано следующим соотношением: где v — случайный член с нулевым средним и дисперсией σ_v².

Предположим, что z невозможно измерить абсолютно точно, и мы будем использовать х для обозначения его измеренного значения. В i-м наблюдении x_i равно истинному значению z_i, плюс ошибка измерения w_i: xi = zi + wi

Допустим, что w имеет нулевое среднее и дисперсию σ _i², что D (z) в 6oльших выборках стремится к конечному пределу σ_z² и что z и v распределены независимо.

Тогда получим:

Это уравнение имеет две случайные составляющие — первоначальный случай­ный член v и ошибку измерения w (умноженную на —β). Вместе они образуют составную случайную переменную, которую мы назовем e: Соотношение можно теперь записать как

Имея значения переменных у (временно будем предполагать, что они изме­рены точно) и х, мы, несомненно, можем оценить регрессионную зависи­мость у от х.

Анализируя ошибку, можно заметить, что она, вероятно, поведет себя не так, как требуется. Переменная х зависит от w, от этой величины зависит также и e. Когда ошибка измерения в наблюдении оказывается положительной, происходят две вещи: х, имеет положительную составляющую w_i, a e_j имеет отрицательную составляющую —βw_i.. Аналогично, если ошибка измерения отри­цательна, она вносит отрицательный вклад в величину х_i и положительный вклад в величину e_г Следовательно, корреляция между х и e отрицательна. Величина cov (х, и) не равна нулю, а b является несостоятельной оценкой β.

Даже если бы у нас была очень большая выборка, оценка оказалась бы не­точной. Она бы занижала β на величину .

Таким образом, оценки МНК будут смещенными и несосстоятельными.

В то же время при ощибках измерения зависимой переменной лишь возрастает дисперся регрессии, а оценки параметров остаются несмещенными и состоятельными.